导数的几个巧妙用

吴慧卓

摘要：从新的角度推导了商的求导法则、反三角函数的求导法则和初等几何中的余弦定理，扩展了求解思路和方法，也扩大了导数的应用范围。

关键词：求导法则；反三角函数；余弦定理

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）34-0202-02

在高等数学里，利用乘积的求导法则和链式求导法则不仅可以解决某些导数的计算问题，还可以巧妙的被用来推导其他的求导法则和求导公式，甚至还可以利用导数建立微分方程来证明初等几何中的余弦定理。下面，分别给出三种问题的证明.

一、利用乘积的求导法則推导商的求导法则

注：这个方法简单易懂，但缺点是没有首先证明商的导数的存在性。但对于较低要求的学生，还是有借鉴意义的。

二、利用复合函数求导法证明反三角函数的求导公式

注：一般教材推导反三角函数的导数公式都是利用原函数的导数等于反函数导数的倒数这个关系来推导的，但很多学生对这个方法中的反函数的导数不甚理解，而这个方法未涉及反函数求导法则。

三、利用复合函数求导法则推导余弦定理

考虑由图2给出的三角形ABC，证明余弦定理：

证明：由正弦定理知

解此微分方程，有

a =b +c -2bccosB

笔者从新的角度推导了商的求导法则、反三角函数的求导公式，所采用方法与一般教材的方法不同，该方法简洁易懂，更利于学生学习和掌握。另外，导数除了可用于解决高等数学中的单调性、极值、拐点和凹凸等问题外，还可以证明初等几何中的余弦定理，进一步扩大了导数的应用范围。

参考文献：

[1]王绵森，马知恩.工科数学分析基础（上册）[M].北京：高等教育出版社，2006：95.

[2]王绵森，马知恩.工科数学分析基础）上册）[M].北京：高等教育出版社，2006：101.

[3]高中数学必修5[M].杭州：江苏教育出版社，2014：5.