窗函数的奇数阶约束问题探讨

欧巧凤　熊邦书

摘要：本文明确了经典FIR滤波器的窗函数法中窗函数的奇数阶约束问题：在定采样率数字信号处理系统中，窗函数法设计的线性相位FIR数字滤波器必然为第一类线性相位数字滤波器，阶数N必须为奇数，并阐明了该结论适用于高维滤波器设计。

关键词：数字滤波器；窗函数；奇数阶约束；线性相位

中图分类号：TN911.72 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）34-0200-02

引言：通过多年的教学研究和多套教材的对比研究发现，窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器理论中，对于滤波器阶数N，即窗函数的窗口长度N，国内外的数字信号处理教材均给出了N的计算公式N的计算公式N≥ 。由N≥ 取整得到的N可能为奇数，也可能为偶数，例如N≥65.8时，N究竟取66还是67，国内外的相关教材中，并没有说明N能否取偶数。部分习题参考书中有这样的说明：“为了方便，N取奇数”。部分参考书中对分别取奇数和偶数进行了计算和解答。

1.窗函数滤波器的奇数阶约束。窗函数法也称傅氏级数法，其设计线性相位FIR数字滤波器的思想是利用时域截短序列h（n）近似理想滤波器的无限长脉冲响应h （n），从而在频域H（e ）近似H （e ）。所设计的线性相位FIR滤波器满足h（n）=h（N-n-1），当N为奇数时，可以实现低通、高通、带通和带阻滤波器；N为偶数时，不可以实现高通和带阻滤波器。因此，高通和带阻的线性相位FIR滤波器已经存在奇数阶约束。下面证明窗函数法设计的低通和带通线性相位FIR滤波器也存在奇数阶约束，即窗函数存在奇数阶约束。理想低通滤波器LPF幅度特性和相位特性公式表达为：H （e ）=1，0，0≤ω？摇≤ωω <ω？摇≤π θ（ω）=-jω·α。对应的特性曲线如图1（a）所示。理想带通滤波器BPF幅度特性和相位特性公式表达为：H （e ）=1，0，ω ≤ω？摇≤ω 其它，θ（ω）=-jω·α。对应的特性曲线如图1（b），图中带通滤波器等效于截止频率为ω 的低通滤波器函数减去截止频率为ω 的低通濾波器函数。

低通滤波器频域响应函数统一表示为：H （e ）=e ，00≤ω？摇≤ω ω <ω？摇≤π，其中α为低通特性的群延时。对H （e ）进行傅立叶逆变换，可求得理想低通滤波器的时域响应序列为：h （n）= H （e ）e dn= e e dw= · （1）

理想带通滤波器的时域响应序列为：

由式（1）和式（2）可知，低通和带通的h （n）均具有偶对称特性，且对称中心是序列最高点对应的下标n=α。理想低通滤波器h （n）如图2所示，h （n）是无限长非因果序列，物理上不可实现。实际中，忽略一定阶次以上的旁瓣能量，截取有限长序列h（n）作为h （n）的近似逼近，方法是取窗函数w（n）与h （n）相乘h（n）=h （n）·w（n），物理上表示对h （n）进行截取，并根据窗函数的系数进行旁瓣衰减。几种常用的窗函数的时域曲线如图3所示。

图2中的α为延时单元的个数。数字信号中根据采样间隔来确定时间t=n*Δt= ，在定采样率信号处理系统中，小数个延时单元没有意义，因此，数字序列下标α必须为整数。

h （n）对称中心上有一个最大序列值点h（α）。待设计的FIR滤波器需要线性相位，因此h（n）是偶对称或奇对称的序列。由图3可知，常规窗函数是有限长序列，具有偶对称性：w（n）=w（N-n-1）。根据序列运算规律可知，滤波器函数h（n）=h （n）·w（n）依然是偶对称序列，h（n）对应的数字滤波器为第一类线性相位。根据序列相乘须对应点相乘，h（α）=h （α）·w（α），w（α）是序列中的一个点，且必须是序列对称中心，所以α必须为整数，h（n）总长度N=2α+1，必然为奇数。反之，假设窗函数阶数N为偶数，要保证线性相位，则h（n）必须偶对称，N=6的h（n）如图4（a）所示，其中延时单元的个数α= =2.5为小数，则h （n）=S （n-α）=S （n-2-0.5），对于定采样率数字信号处理，小数下标无意义，α=2.5，N=6。对于变采样率数字信号处理，在N之间插值N-1个点，在2倍重采样条件下h（n）长度为N+（N-1）=11，仍然存在奇数阶约束。如果h（n）非偶对称，h（n）如图4（b）所示，此时设计的FIR滤波器不是线性相位，不属于设计线性相位FIR数字滤波器设计范畴。

2.窗函数法设计FIR滤波器理论中的奇数阶约束引申到二维图像滤波，同样适用。对二维图像数据I（x，y）进行空间滤波，数字图像处理教材中很早就会讲到均值滤波、高斯滤波等算法，所采用的算子模板尺寸有3×3和5×5等，模板尺寸为奇数的原因，教材中一般解释为考虑到关于当前像素点对称，本质原因是定采样率滤波器存在奇数阶约束，下面以二维高斯滤波器为例进行说明。高斯函数的傅立叶变换仍是高斯函数，因此，频域的二维高斯低通滤波器w （u，v），其时域响应函数也为高斯函数：

H（x，y）为无限长的二维函数，通过尺寸为N×N的二维矩形窗函数ω （x，y）进行截断，则得到N阶二维高斯数字滤波器。其中取平滑系数σ=2、N=5的二维矩形窗函数进行截断，可得到平滑系数为2的5×5高斯算子模板H（x，y），如图5所示。采用二维时域卷积，可得到高斯滤波后的图像F（x，y）=I（x，y）？鄢H（x，y）。

二维高斯函数具有可分离性：H（x，y）=e =

e ·e =H（x）·H（y），因此对输入图像I（x，y）先进行x方向的一维高斯滤波，再进行y方向的一维高斯滤波，可达到二维高斯滤波的相同效果。一维加窗高斯滤波器存在奇数阶约束，因此，二维窗函数在两个维度上存在奇数阶约束。

结论：从上述推导可以看出，采用窗函数法设计定采样率FIR数字滤波器，滤波器阶数N必须为奇数，且设计出来的滤波器必然为第一类线性相位数字滤波器。

参考文献：

[1]门爱东.数字信号处理系统分析与设计[M].杨波，译.北京：电子工业出版社，2004：147-183.（原著：Paulo S.R.Diniz Eduardo A.B.da Silva.Digital Signal Processing System Analysis and Design.ISBN 7-121-00063-6）

[2]高西全，丁玉美.数字信号处理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008：196-213.