大学物理中微积分教学探讨

薛刘萍　夏往所　王莹　叶世旺

摘要：微积分在大学物理中有着广泛应用，但对初学者来说比较困难。本文提供了一种更容易接受的教学过程，以便同学更好的体会和利用微积分思想。

关键词：微积分；大学物理教学；物理模型

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）27-0191-02

物理课程在初中，高中以及大学中的体系基本一致，都是力热光电四部分[1]。但随着数学学习的进展，能够解决的问题也发生变化，到了大学以后，由于高等数学中微积分的学习，大大拓展了处理物理问题的范围，由最初的最特殊的情况过渡到一般情况。比如质点运动中匀速直线运动到现在的变加速曲线运动；由均匀电场和均匀磁场到不均匀电磁场。因此在大学物理学习中微积分很重要，但是由于同学掌握的不够熟练或者对微积分的思想不够理解，以致在解决物理问题时不能正确应用。如何建立物理模型，应用微积分写出解析式的过程，对于初学大学物理的同学非常重要，但是也非常困难[2]。本文从基本定义出发，介绍了几种不同情况下建立模型，写出解析式的过程。

由于物理学研究的是最基本的运动规律，因此物理量在定义时只能针对最简单、最特殊的情况。比如，在速度的定义是通过匀速直线运动；磁通量的定义是通过均匀磁场中的平面。对于一般较为复杂的情况只能选择合适的微元，建立一个与定义基本一致的物理模型，才能写出解析式进一步对物理量进行计算分析。以下以速度，磁通量以及带电体的总电量计算为例介绍了一维，二维和三维空间中建立物理模型写出相关解析式的过程。

一、速度

速度是通过平均速度进行定义的，即在质点经过Δt时间有位移Δ 时，平均速度为 = 。只有质点在做匀速直线运动时，其平均速度才是瞬时速度（简称速度）。质点在做变速曲线运动时，并不符合定义的过程。我们只有选择微元，建立一个与定义相符的物理模型，才能写出速度的解析式。定义中质点经过Δt时间有位移Δ 。我们对应选择时间微元dt，有位移微元d 。

从图1上可看出，曲线可以看成无数个一段段很短的直线首尾连接形成，在我们选择位移d 后，这一位移微元就可以看成为直线运动；在dt时间微元中，质点虽然在做变速率运动，但由于时间极短，其速率变化量极小，因此可以近似看成匀速率运动。因此在t到t+dt时间段，质点在做着匀速直线运动，其平均速度就是瞬时速度。这样我们就利用dt和d 微元，将变速曲线运动，简化为匀速直线运动的迭加。由定义可写出其速度为 = 。

二、磁通量

磁通量是通过面积上的磁感应线条数。由于磁感应线的定义是垂直磁感应线方向上单位面积磁感应线的条数表示磁感应强度 的大小。从定义上我们也只能对均匀磁场中平面的磁通量直接进行分析。在均匀磁场中，磁感应线也均匀分布，其磁通量可以写为Φ= · 。若是不均匀磁场中的曲面，我们需要将其简化成符合定义的情况，即通过选择微元，获得均匀磁场中的平面。与图1类似，一个曲面也可以看成无数个极小的平面组合而成，又由于平面极小，其上的磁场即使分布不均匀，各处差别也很小，因此我们也可以看成是均匀分布的，这样不均匀磁场中的曲面问题就简化成均匀磁场中的平面，与定义中的情况相符。

由以上分析可见，我们选择面积微元d ，如图2，此面积微元就是平面，且磁场分布均匀，符合定义情况，即可写出面积微元d 上的磁通量为dΦ= ·d ，整个曲面的磁通量为每个面积微元d 上的磁通量之和，解析式为Φ= ·d 。

三、电荷数

程守洙主编的《普通物理学》第七版[3]中習题7-18中出现带电球体密度为ρ=kr，式中r是径向距离k是常量。在利用高斯定理求球外的电场强度时需要求小球的总电量。

由电荷体密度求解电荷总量的问题，在定义中也只能针对均匀分布的情况，总量等于密度与体积的乘积。而本题中电荷并非均匀分布，无法直接求解。但是我们发现体密度只和半径有关。因此可以选择体积微元，如果其半径变化极小，我们就可以认为此微元的半径是一常数，那么它的体密度就是均匀的。可以利用定义进行求解。

由图3可见，我们取一个半径在r到r+dr之间的球壳形状体积微元。因为半径变化dr是个极小值，我们近似的认为球壳微元的半径均为r，体密度均为ρ=kr，大小不变，球壳微元中的电荷是均匀分布的。符合定义规定的情况。由定义知球壳上所带电量为dq=ρdV，球上的总电量为每个微元上电量的总值，即

q= dq= kγdV。

微积分作为一种数学工具，可以帮助我们将一些复杂的物理问题简单化。要用好微积分，不仅要熟悉它的数学计算，更重要的是对其物理含义的理解。这样才能在相关物理量定义的基础上建立模型，写出解析式，求解相关问题。因此教学中应该注意要让学生真正理解变量取微元的物理含义，培养学生的物理思维，才能形成自己的物理观念。

作者经过多年教学发现，通过这种方法引入微积分，对于初次接触并在初期进行多次强化，可以使同学对其的掌握情况大大改善，为以后的学习打下良好的基础。

参考文献：

[1]程守洙，等.普通物理学[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]欧聪杰.将微积分的思想融入大学物理教学[J].教育教学论坛，2014：2（6）.

[3]程守洙，等.普通物理学习题分析与解答[M].北京：高等教育出版社，2016：183-184.