试论多项式综合除法在中学函数中的应用
2018-09-25蒋艳燕
摘 要:多项式综合除法是高等函数中矩阵算法的简单化,能够有效帮助学生求解多项式函数,但是理解难度较大,想要学生转变函数思想来接受多项式综合除法的解题方式较为困难,但只要学生接受了多项式综合除法的使用,将会优化解题方式,有助于加深对函数的理解。笔者从多项式综合除法的角度出发,明确了综合除法的概念以及用于中学函数的一般解题步骤,探究多项式综合除法在多种题型中的应用。
关键词:多项式综合除法;高中函数;矩阵算法
在中学数学学习中,函数作为学习难度较大的部分,也是高考考察的重點,应引起学生的高度重视。由于部分多项式函数求解难度较大,而高中生接触到的数学解题方法较为繁琐,因此要结合高等函数的解题方法,在一定的程度上对中学函数解题方式进行优化。从本质上来看,多项式综合除法运用了矩阵算法,将多项式函数运算进行了简单化,进而达到良好的解题效果。对于高中生来说,善用数学思维并巧用解题方法,能够大大提高解题效率,提高学生的得分率。因此,对多项式综合除法的研究具有重要意义。笔者从多项式综合除法出发,对其在高中函数中的应用进行深入探究,为现代高中生学习提供借鉴。
一、 多项式综合除法概述
综合除法是一种相对简单的除法运算,通过乘法与加法两种方式可以得到多项式处以(x-a)的商式与余式。运算的过程中,除式通常为一次式的快速除法并按照原式、计算式、结果式、商式、余式进行排列。具体的做法为首先将函数的系数进行分离,缺少的项系数为0,并排列最后写出除式的根c。而后,将最高次项系数1直接写在结果列第一个,而后根据除式商的根,在得到的系数放在计算列的位置,最后将原式列与计算列进行相加,得到结果列。结果是按照列的顺序依次算出,在进行相加之后,再乘以除式的根,将结果放在计算列右上的位置,直到计算完成。如果结果列最后一位为余数,也会作为f(c)的值,且该值的上一个值为商的系数。为了避免将系数与除式根之间计算混淆,一般在计算得过程中会添加区分记号,在余数与商之间也是一样,同样会用区分记号标记。此时并没有计算完全,只是完成了一半,要根据一个特定的综合除法定理,来计算(ax-b)除式。如果除式为(ax-b)的商等于除式为(x-a)的商,则余数相同。利用该定理来对多项式进行计算,就能够快速得到真正的商值,达到快速计算的目的。如果在进行计算的过程中,一个多项式除以另一个多项式的余数为0,则认为该多项式可以被除式整除。
通过对以上计算过程以及定理进行分析,能够得到多项式综合除法的一般步骤,为了让高中生更加容易理解以及掌握该计算方法,具体将计算过程分为以下四步:
1. 对原式与除式按照某个字母进行优化排列,按照该字母的降幂依次写出,并用系数0补出缺少的项。
2. 从排列好的第一项开始,用除式去除原式,并得出商式。
3. 用除后的商式去乘除式,将得到的结果写在原式下面对齐,而后从原式中,减去得到的乘积。
4. 将减去乘积后的差,作为新的原式,重复1~3的计算步骤,继续对计算结果进行推演,直到余式为0,或者余式的次数低于除式的次数。此时,原式等于除式乘以商式加上余式。
二、 多项式综合除法的应用
通过对多项式综合除法的计算过程以及涉及的定理进行概述,能够看出采用多项式综合除法,对高中生函数学习来说,能够优化部分多项式的计算,节省解题时间。多项式综合除法在计算多项式的值、分解因式、求解函数值、求解高次方程、多项式的变形、有理函数积分等均可以应用。以下对多项式综合除法的计算应用方法进行简单介绍。
(一) 求解函数值
部分多项式在计算的过程中,运算量较大,尤其是对于高次幂多项式来说,会耗费大量的解题时间,且在大量的计算过程中很容易出错,降低分值。因此,针对在对多项式函数f(c)的值进行计算的时候,可以采用综合除法,将f(x)写成(x-c)的多项式形式,得到的余式就是所求f(c)的函数值。采用综合除法来计算多项式的值能够大大减少计算量,培养高中生更好的矩阵算法思维,对其他数学题型的计算也具有一定的帮助。
(二) 因式分解
因式分解在函数解题中至关重要,然而对于高次幂多项式的因式分解来说,简单的十字交叉法,采用多项式综合除法以及其中的定理,能够快速解决高次幂多项式求解问题。同时,可以利用多项式综合除法来解决多项式中求解有利根的问题。
(三) 求解整系数多项式
在除式为高次项多项式的时候,想要采取简单的计算方法难以进行,因此可以将综合除法中对(x-c)除式计算的方法进行推广,使其能够提高多项式求解的可操作性,便于高中生求解整系数多项式。
三、 结论
笔者通过对多项式综合除法的解题步骤以及应用方向进行探究,为现代高中生解题提供了良好的思路与解题方法,能够大大提高部分题型的解题速度,培养高中生良好的矩阵算法思维,为高等数学的学习打下坚实的基础。
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作者简介:
蒋艳燕,中学二级,浙江省金华市,浙江省东阳市南马高中。