为什么正弦交流电的产生与线框形状、转轴无关

杨文皓

(成都市实验外国语学校(西区)高2016级1班 610213)

从课本的推导谈起，在选修3-2教科版P33有关于矩形线框正弦交流电产生的推导，笔者对此作了参考：

图1

如图1所示，将手摇发电机磁极间的磁场视为磁感应强度为B的匀强磁场，方向水平向右；线圈简化为单匝矩形线框abcd，线框边长分别为ab=L1，bc=L2.设线框abcd绕水平的中心轴OO′沿逆时针以角速度ω匀速转动，线框中将产生怎样的感应电动势？

在线框匀速转动的过程中，ab边和cd边要切割磁感线而产生感应电动势，由于这两边的运动速度始终是大小相等而方向相反，所以两边产生的感应电动势大小相等.回路abcd中总的感应电动势e=2eab.现在我们研究ab边切割磁感线产生的感应电动势.

图2

如图2所示，经过时间t，ab边绕轴OO′转过的角度θ=ωt，此时v的方向如图所示，v与磁场方向垂直的分量v2=vsinθ=vsinωt.根据电磁感应定律，在ab边产生的感应电动势的大小eab=BL1vsinωt而v=ω·L2/2

由此可得e=2eab=BL1L2ωsinωt

取任意位置初相为φ0，则e=BSωsin(ωt+φ0)由此表达式可看出，矩形线框正弦交流电的感应电动势e只与线框的大小(面积)有关，与线框的形状、转轴无关.

图3

拓展1 仍然采用矩形线框，若改变转轴的位置，相当于改变了切割的形状，那么是否还会产生同样的正弦交流电呢？如图3.

(其中虚线为转轴)取对角线为转轴(转轴对角线垂直于磁场)由于是对称结构，则此时两边产生的感应电动势大小相等，选取线框一半(一个三角形)分析：

通过微元法的思想，把三角形分成无数个极小的小矩形，分析每个小矩形的切割情况，再将所求每个部分的电动势进行求和，得到总电动势设某个小矩形的长为m(相当于把对角线分割成长度为m的无数份)，宽为n

e小矩形=Bnvsinωt

v=ω·m

e小矩形=Bmnωsinωt=BS1ωsinωt

求和e半=∑e小矩形=Bωsinωt(S1+S2+…+Si)

面积之和

S1+S2+…+Si=S总=L1L2/2

由此可得

e=2e半=BL1L2ωsinωt

取任意位置初相为φ0，则

e=BSωsin(ωt+φ0)

仍然产生相同的感应电动势

新视角：通过投影，从磁通量角度进行探究

线框平面在垂直磁场方向的投影：

S′=Scosθ=Scosωt

易知，无论形状怎样变化，只要面积不变，投影面积变化始终相同无论形状、转轴如何变化，总有：

对磁通量Φ求导即可得到感应电动势的瞬时值

利用复合函数求导公式

Φ′=BSsinωt·ω

由此可得e=BSωsinωt

仍然产生正弦交流电.

如果线圈匝数为N，初相为φ0则感应电动势为

e=NBSωsin(ωt+φ0)由此可见，对于任意形状、任意转轴，正弦交流电的产生只能与面积有关，与形状、转轴无关.

总结与反思：正弦交流电e=Emsinωt的产生是高中物理重点内容，本文从课本视角入手，分析切割磁感线的电动势的产生及其大小，论证正弦交流电的产生与形状、转轴无关.随后笔者提出了磁通量这一新视角，从磁通量变化与正弦交流电的关系进行论证，可以起到快速普适的效果.我们平时在物理学习中要善于分析，注意物理与数学的结合，善于利用数学武器解决物理问题，丰富自己的高中学习！