时谐散射问题的一种各向异性的优化PML方法

杨 孝 英

(长春工业大学数学与统计学院，吉林 长春 130012)

近年来，很多学者使用PML方法求解散射问题.[1-3]文献[4-7]给出了求解散射问题的一种优化PML方法，文献[8]给出了求解不连续波数的散射问题的各向异性PML方法.由于散射问题的优化PML方法的计算不依赖PML层的厚度，本文主要研究时谐散射问题的各向异性优化PML方法.

考虑如下的二维时谐散射问题：

(1)

(2)

(3)

其中：r=|x|；f∈(H1(Ω))′的支集在B(R0)={x∈R2||x|

1 各项异性的优化PML方法的构造

(4)

(5)

其中：A(x)=J(x)DF-1(x)DF-T(x)，J(x)=det(DF(x))，DF(x)为Jacobi矩阵.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

图1 各向异性PML层的构造

下面给出如下的复坐标拉伸变换：对于t>0，令

α(t)=η(t)+iσ(t)，η(t)=1+ζσ(t)

(12)

其中m≥2，ε0>0为足够小的参数.

(13)

其中m≥2为常数.

证明由于

(14)

(15)

其中：α=α(r(x))，β=β(r(x)).对于其他区域，有类似的结果.

2 优化PML方法的收敛性

显然，问题(1)—(3)的解u(x)满足

(16)

其中ΨSL，ΨDL分别为单双层位势：

这里G(x，y)为Helmholtz方程的基本解

定义复距离

并且令

因此可以得到

(17)

由定理1和引理1，可以得到下面结论.

(18)

其中：m≥2，ε0>0，

(19)

(x1-y1)(x1-L1/2)>0，(x2-y2)(x2-sgn(x2)L2/2)≥0.

由引理2和定理1得

(20)

类似文献[7]，可以证明：

引理3存在和k，σ，dj(j=1，2)无关的常数C>0使得：

(21)

(22)

(23)

(24)

类似文献[2]中定理3.3，可以得到如下的收敛性估计：

(25)

其中：γ为(19)式所定义，m≥2，L=max(L1，L2)，C>0为与k，d1，d2，ε0无关的常数.

证明由(16)和(17)式可得

再由引理3，即可得到(25)式.

文献[8]中给出的PML方法，PML问题的收敛性依赖于PML层的厚度.而本文给出的优化PML方法中，由定理2可以看出，只要ε0充分小，优化的PML解指数收敛于原问题的解，并且PML解不依赖PML层的厚度，对于较小的厚度，可以降低有限元的计算量.各向异性的优化PML方法为不连续波数的散射问题提供了一种方便灵活的计算方法.在后续工作中将使用此方法求解不连续波数的散射问题.