“信号与系统”课程中关于信号相位谱的分析

王法松

(郑州大学 信息工程学院，郑州 450001)

0 引言

“信号与系统”课程是电子信息、通信、自动控制等本科专业的一门重要专业必修课程，从开设至今，在国际上已经历了近七十年的历史。该课程在整个本科教学体系中，具有举足轻重和承前启后的作用，向前承接着“高等数学”“线性代数”“概率统计”和“电路”等重要基础课程，往后衔接着“数字信号处理”“通信原理”“随机信号分析”和“自动控制原理”等重要专业基础课程。相对于其他课程而言，由于该课程涉及到较多的数学知识，比较抽象，理论难度较大。

该课程在内容上主要涉及连续和离散时间信号及相应的线性时不变系统的时间域和变换域的相关理论分析。在学习上，同学们需要在理解课程所涉及的物理背景和数学原理的前提下，能够应用这些数学工具描述和分析连续和离散时间信号及相应的线性时不变系统的具体问题。在教学上，为了突破学生由于数学知识的不足而造成的对“信号与系统”课程中的一些教学重点和难点的分析障碍，已出现大量的使用Matlab等软件进行相关教学的大量尝试和研究[1-2]。在这些研究中，特别地，针对信号的傅里叶分析的研究较多，但是大部分都是针对信号的幅度谱展开讨论，而相应的专门针对信号相位谱的研究和分析却鲜有涉及。同样地，在教学过程中，由于幅度谱具有直观的物理含义，较容易被广大同学理解和接受，而相位谱却不然。然而，在信号的频域表示中，幅度谱和相位谱具有同样重要的地位，在一些具体的应用问题中，信号的相位谱信息包含了原始信号的绝大多数甚至全部信息[3-6]。因此，本文将针对图像信号和声音信号两类具体信号类型，通过分析和Matlab仿真说明信号相位谱的作用，以加强广大同学在学习“信号与系统”课程中对信号相位信息重要性的理解和认识。

1 信号幅度谱和相位谱的基本概念

连续时间傅里叶变换F(jω)的幅度-相位表达形式可以表示为式(1)。

F(jω)=|F(jω)|exp(jφ(ω))

(1)

式(1)中，|F(jω)|表示信号x(t)的幅度谱，φ(ω)表示信号x(t)的相位谱。类似地，对于离散时间傅里叶变换的幅度-相位表达形式可以表示为式(2)。

F(ejω)=|F(ejω)|exp(jφ(ejω))

(2)

由傅里叶变换的逆变换表达式为式(3)。

(3)

(4)

选择不同的相位值φ1，φ2和φ3，由式(1)给出的信号x(t)的时域波形图，如图1所示。

(a)

(b)

(c)

(d)

图1(a)给出了信号x(t)在φ1=φ2=φ3=0时的时域波形图。同样，在各次谐波幅度不变的情况下，图1(b)-图1(d)给出了其他几组不同的相位值得到的信号x(t)的时域波形图，从这几幅图中可以清楚的看到不同的相对相位关系对信号合成效果的影响。

2 信号相位谱重要性的应用实例

本节将通过两个应用实例说明信号相位谱的重要性。

实例一：图像信号的相位谱

灰度图像可以看作是一个具有两个独立变量的信号x(t1,t2)，其中t1表示图像上一个点的水平坐标，t2是该点的垂直坐标，而x(t1,t2)表示该点图像的灰度值。图像信号的傅里叶变换F(jω1,jω2)表示将图像信号分解成复指数信号ejω1t1ejω2t2的组合形式，这两个复指数信号体现了图像信号x(t1,t2)在两个坐标方向上以不同的频率进行空间变化的趋势。一般来说，图像的边缘信息和高对比度的区域反映了该图像的最重要的特征信息，具有相同相位的不同频率的复指数函数的叠加一般出现在一幅图像上最大和最小强度的区域。因此，可以认为图像信号的傅里叶变换的相位谱包含了其中的大部分特征信息，尤其是关于图像的边缘特征信息，如图2所示。

现考虑图2(a)和图2(b)所示的两幅灰度图像信号；图2(c)和图2(d)给出了这两幅原始灰度图像所对应的傅里叶变换的幅度谱；图2(e)和图2(f)给出了原始灰度图像对应的傅里叶变换的相位谱；图2(g)和图2(h)给出了将原始图像的幅度谱设为1而相位谱保持不变时对应的灰度图像；图2(i)和图2(j)给出了将原始图像的相位谱设为0而幅度谱保持不变时对应的灰度图像；图2(k)和图2(l)给出了将两幅原始图像的相位谱互换而幅度谱不变时的灰度图像。由仿真结果可见，灰度图像信号的大部分边缘信息都包含在该图像的相位谱信息中，即具有相同相位谱的两幅图像看起来更为相似。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

实例二：语音信号的相位谱

另一个能够说明信号相位谱重要性的例子是语音信号的相位谱，如图3所示。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

图3(a)和图3(b)给出了原始时域语音信号波形图；图3(c)和图3(d)给出了原始语音信号的幅度谱图像；图3(e)和图3(f)给出了将原始语音信号的幅度谱设为1而相位谱保持不变时的时域信号波形图；图3(g)和图3(h)给出了将原始语音信号的相位谱设为0而幅度谱保持不变时的时域信号波形图；图3(i)和图3(j)为将原始两路语音信号的相位谱交换而幅度谱不变时的频谱图像；图3(k)和图3(l)为将原始两路语音信号的相位谱交换而幅度谱不变时的时域信号波形图。由仿真结果可见，语音信号的大部分信息也包含在该信号的相位谱信息之中。

3 总结

由于“信号与系统”课程在很多工科专业中具有的重要作用，在实际的教学过程中的地位显得特别重要。而在该课程中，傅里叶变换作为频域分析的主要工具，更是课程的重点，同时由于其抽象性，也是难点之一，尤其是信号的相位谱信息在相关教学讨论中涉及较少。本文针对在实际教学中学生可能面临的对实际信号的相位谱理解困难和不够重视的情况，结合自然界中最常见的图像信号和语音信号的具体事例，分析和讨论了信号相位谱在表示和分析实际信号时的重要作用，以期达到增强和巩固学生掌握相关知识的目的。