等差数列及其前n项和考点解析

吕晓蝶

摘 要 数列是高中数学的重要组成部分，有关数列的知识又分为等差数列和等比数列。本文重点介绍了有关等差数列在高考中的3个核心考点，并且给出了典型例题进行解析。

关键词 等差数列 前n项和 考点

1考点一：有关等差数列运算的求解方法

考点解析：（1）等差数列的通项由首项和公差构成，所以有关等差数列的运算都要围绕首项和公差进行。（2）对于等差数列的问题，一般题目都会给出两个条件，利用这两个条件就能求解出首项和公差。（3）在解题过程中，特别注意的是设元技巧，例如三个数如果成等差数列，则可设置为，若四个数成等差数列，则可设置为。

例1：设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则为多少？

解析：此题涉及到等差数列和等比数列的相关知识，首先用首项和公差将表示出来，再利用条件成等比数列，列出等式即可求解出等差数列的公差。

解：等差数列中，

又成等比数列，则有

即

因为，带入上式，即

解得或，又因为

故。

2考点二：等差数列的判定与证明

考点解析：（1）要证明一个数列是等差数列，有两种基本方法：其一，利用等差数列的定义证明，即证明；其而利用等差中项的性质证明，即证明。（2）要判定一个数列是等差数列，可以直接用通项法或者前n项和直接判定。

例2：已知数列满足

（1）设，求证；数列为等差数列，并求出通项。

（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由。

解析：（1）证明数列为等差数列，需要运用等差数列的定义来证明；再根据已知条件求解通项。（2）是否存在正整数，使得不等式恒成立，则需要先求解出，再根据不等式性质讨论是否存在。

解：（1）证明：因为

所以，数列是以公差为2的等差数列

又所以

所以，解得

（2）由（1）可得

所以，因此数列的前项和为

要使得对于恒成立，只要

即，

解得或

3考点三：等差数列前n项和的最值问题

考点解析：求等差数列前n项和的最值方法，其一，二次函数法，将看作关于n的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合使问题得解；其二，通项公式法，求使成立的最大值即可得的最大值；其三，不等式法，利用不等式性質求最值问题。

例3：在等差数列中，已知，前项和为且，当取何值时，取得最大值？并求出它的最大值。

解析：首先根据已知条件和确定公差，再利用通项公式法确定成立的最小值，最后求解出最大的。

解：因为和

所以，，

所以，

所以，

因此，当时，；当时，

所以，当或时，取得最大值，且得最大值。

4小结

本文介绍了高考中有关等差数列的考点，主要有等差数列运算的求解方法；等差数列的判定与证明；以及等差数列前n项和的最值问题。并且通过典型例题对相应考点进行了解析。

参考文献

[1] 崔锦. 高中数列教学及解题研究[D].昆明：云南师范大学，2017.

[2] 刘巍.等差数列前n项和教学设计[J].昭通师范高等专科学校学报，2011，33（S1）：63-65.