Fuzzifying拓扑空间中的强半分离性

杨文华

内蒙古财经大学 统计与数学学院，呼和浩特 010020

1 引言

1991年，文献[1]提出I-Fuzzy拓扑概念的同时也提出了I-Fuzzy拓扑的特殊情形——不分明化(Fuzzifying)拓扑的概念，并且文献[1-3]用连续值逻辑LΝ1语义的方法建立了Fuzzifying拓扑学的基本理论。

自从Fuzzifying拓扑基本理论引入之后，就引起了国内外学者的广泛关注，并且相继做了许多有意义的研究，如文献[4-14]等。其中，文献[4]讨论了分离性问题；文献[5]研究了S-分离性；文献[6]利用Fuzzifying半开集、Fuzzifying半邻域和Fuzzifying半闭包导入了一种新的分离公理；文献[7]以预开集为工具引入了预分离公理；文献[8]以正则开集、R-邻域及δ-闭包为工具导入了几乎分离公理；文献[10]引入了拟R0分离公理。

文献[15]利用文献[16]中所定义的一种新的较为合理的半开集给出了Fuzzifying拓扑空间中的强半开集、强半邻域、强半闭包和强半内部等概念。本文将运用连续值逻辑LΝ1语义的方法，在Fuzzifying拓扑空间中以强半开集、强半邻域、强半闭包和强半内部为工具引入强半分离公理SPTi(i=0,1,2,3,4)，并且深入讨论它们的性质及彼此间的关系。

2 预备知识

本文中，I=[0,1]，X是非空集合，A⊂X，Ac=X-A。

首先，列出在本文中经常使用的关于模糊逻辑（赋值格为Lukasiewicz单位区间的逻辑）的一些记号。

对任意公式φ，符号[φ]表示φ的真值，这时真值集是[0,1]。一个公式φ为重言式，记作⊧φ当且仅当[φ]=1 。

（1）[α]:=α(α∈[0,1])

（2）若 A∈2X，则[x∈A]:=A(x)。

（3）若 X 是论域，则[∀xφ(x)]:=infx∈X[φ(x)]。

此外，相应的导出公式有：

⑦若∀A,B∈2X，则：

其次，给出本文中经常使用的一些概念及定理。

定义1[1]若映射τ:2X→I满足以下条件：

则称(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，一元模糊谓词τ称为X上的Fuzzifying拓扑。

定义2[16]设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间。

（1）定义一元模糊谓词 Sτ:2X→I如下，称 Sτ为Fuzzifying半开集。∀A∈2X

（2）定义一元模糊谓词SCτ:2X→I如下，称SCτ为Fuzzifying半闭集。

（3）∀x∈X，定义一元模糊谓词Sx:2X→I如下，称Sx为x的Fuzzifying半邻域系。

定义3[15]设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间。A∈2X,int(A)、cl(A)、ints(A)、cls(A)分别表示 Fuzzifying拓扑下A的内部、闭包、半内部、半闭包。

（1）定义一元模糊谓词SPτ:2X→I如下，称SPτ为Fuzzifying强半开集。

其中

（2）定义一元模糊谓词SPCτ:2X→I如下，称SPCτ为Fuzzifying强半闭集。

（3）∀x∈X，定义一元模糊谓词SPNx:2X→I如下，称SPNx为x的Fuzzifying强半邻域系。

定义4[15]设 (X,τ)是 Fuzzifying拓扑空间，∀A∈2X，A的强半闭包记作SPcl(A)，定义为SPcl(A)(x)=1-SPNx(Ac)；A的强半内部记作SPint(A)，定义为SPint(A)(x)=SPNx(A)。

定理1[15]设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，则：

（1）SPτ(X)=SPτ(ϕ)=1

定理2[15]设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，∀A,B∈2X，则：

3 强半分离公理及其等价刻画

定义5设Ω是所有Fuzzifying拓扑空间类，一元模糊谓词SPT0，SPT1，SPT2，SPT3，SPT4∈IΩ分别定义如下：

定理3设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，则

证明

定理4设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，则

证明由定义3及定理2（2）知：

另一方面：

类似的

所以

定理5设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，则

证明

定理6设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，令

证明首先证明

只需证明下面的等式成立：

下证

综上

所以

定理7设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，令

证明首先证明

只需证明下面的等式即可：

4 强半分离公理间的关系

定理8设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，则

证明（1）需证。因为

所以

（2）需证[SPT2(X,τ)]≤[SPT1(X,τ)]。因为当时，SPNx(A)=0；当时，SPNy(B)=0，故

所以

即 [SPT2(X,τ)]≤[SPT1(X,τ)]。

（3）由（1）、（2）可知：

引理1 ∀α,β∈[0,1]，则

证明分α≤β及α＞β两种情况讨论，易证。

定理9设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，则

证明只需证明

由定理4知：

于是

又由于[SPT2(X,τ)]≥0，所以

定理10设(X,τ)是Fuzzifying拓扑空间，则

证明只需证明

即 [SPT3(X,τ)]≥[SPT4(X,τ)]+[SPT1(X,τ)]-1 。又由于[SPT3(X,τ)]≥0 ，所以

5 结论

本文主要在Fuzzifying拓扑框架下引入了强半分离公理SPTi(i=0,1,2,3,4)，给出了各自的等价刻画以及它们彼此间的关系。文中运用了连续值逻辑LΝ1语义的方法，所涉及到的赋值格为Lukasiewicz单位区间，它是一个MV代数，所以这里就可以提出一个问题：能否将赋值格[0,1]推广到MV代数，甚至是正则剩余格。一方面，推广赋值格[0,1]，那么拓扑框架也相应变得更广泛，在这个更广泛的拓扑框架下研究强半分离公理，那就需要相应一系列的研究基础；另一方面，Lukasiewicz单位区间是一个特别的MV代数，如果推广成一般的MV代数或正则剩余格，无疑会更加的复杂，所以这个问题能否解决还有待研究，可以作为一个思考方向。