非局域Bell-态测量的实现

彭家寅

内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641199

1 引言

纠缠是量子世界特有的一种现象，并且是量子信息处理和计算科学中最重要的物理资源之一。许多新奇结果的获得都凭借着纠缠粒子的量子非局域性，比如量子密集编码[1]、量子隐形传态[2]、量子对话[3]、量子秘密分享[4-5]、量子态制备[6-8]、量子克隆[9]、量子信息集中[10]、量子远程控制[11]以及量子计算[12]等等。量子系统中量子态所含信息是量子力学中的一种重要信息，而另一种是描述量子算子的信息。例如，在分布式量子计算时就会出现这种情况，那里被视为一个多处理器设备，其每个处理器只包含少量的量子比特并充当量子通信网络的节点。为实现分布式量子计算，Grover[13]和Cirace等[14]不仅有效地传递了量子数据，而且还在网络节点之间有效地传输了量子算子。因此，利用共享纠缠、局域操作以及经典通信，实施非局域量子操作在量子信息的研究中具有重要意义的，并对非局域量子操作的一些基础研究已有了报道[11，15-21]。在一个量子位上传输酉算子的过程类似于远程控制，因此也称之为量子远程控制。在未来的量子网络中，这样的算子可以被作为对粒子中的量子信息的控制（加密或解密），它可以作为激活诸如导弹发射、量子密封或拆封、量子货币的远程联合销毁等重要行动的钥匙。

Barenco和Dorai等人[22-23]指出，受控非门（CNOT）与一组一般的一个量子比特门就足以实现任何多量子位的酉变换。为此，文献[24-25]利用最大纠缠、局部操作和经典通信对非局域CNOT的实现进行了研究。文献[26]于2004年提出了以部分纠缠态为量子信道，按一定概率就可以实现非局域CNOT操作的一个协议。而量子态的非局域测量是一种特殊的非局域量子操作。文献[27]提出了一种近似确定的非局域Bell态测量方案，文献[28]研究了多个可观测量的可联合测量问题。文献[29-31]应用了非局域测量来处理量子任务。量子信息与量子计算中的另一个基本而重要问题是：在执行绝大多数量子任务时，需要使用Bell-态测量。一个自然的问题是：如何执行联合Bell-态测量（即非局域Bell-态测量），在本文中，以一种简单实用的方式来研究这个问题，即分别以最大和部分纠缠态作为量子信道，选择适当的酉变换就可以实现联合Bell-态测量，并讨论了在这种情况下的资源消耗。

2 以最大纠缠对为量子信道的协议

Alice拥有粒子C，Bob拥有粒子D。根据这些要求，本文方案可以设计如下：

首先，Alice进行如下三种操作：

（1）施行两粒子酉变换NCAC，这里NCAC是一个两粒子受控非门（CNOT），它可表示为：

其次，收到Alice的信息后，Bob施行如下四种操作：

（1）依据Alice的信息s，对粒子 D执行Pauli运算σ(0,s)，这将把粒子A,D和B的态变成如下形式：

其

中s=0,1，而⊕是关于模2的和。

（3）将测量结果告知Bob。为此，Alice利用Alice-Bob

（4）对粒子B施行Pauli运算σ(0,t)，这样后粒子 A和B的态变成：

3 以部分纠缠对为量子信道的协议

在第2章中，看到借助预先分享的最大纠缠对、局部操作和经典通信，可以远程而联合地执行Bell态测量。然而，在真实的环境中，因噪声等各种因素的影响，Alice和Bob事先分享的不是最大纠缠对，而是部分纠缠对。这意味着量子信道将是不完美的，上述协议也就不能实施。为了执行非局域Bell态测量，需要考虑不完美量子信道。这里提供以下策略。

假定Alice和Bob事先分享的量子态为：

其中 |α|2+|β|2=1 ，Alice持有粒子 E ，Bob拥有粒子 F 。为了方便，不妨设 α,β 为实数且满足 |α|≥|β|。仍假定处于初始态的粒子A和B分别被空间分离的Alice和Bob所拥有。

当Alice对控制粒子A，目标粒子E施行受控非门运算时，系统总态会变成：

从上式可知，据测量结果k，粒子A、F和B的态将塌陷为：

其中k=0,1。

如果k=1，则：

现在，Bob应用Uk于粒子 F和粒子b，那么态变成：

从式（4）知，对任意k∈{0,1}，获得上述态的成功概率为β2，因此整体情况下成功的概率为2β2。

明显地，式（2）所示的态本质上与式（6）所示态完全相同。这样，本章余下的工作与式（2）的工作一致，这里就不再重述。因此，利用部分纠缠信道也是能够成功执行非局域Bell-态测量的。也即是说，通过引入辅助粒子b和执行酉变换Uk，Alice和Bob是能够借助部分纠缠信道，以一定概率2β2执行远程联合Bell-态测量。

4 讨论与结论

到现在为此，分别以最大纠缠对和部分纠缠对为信道，得到了远程联合执行：

测量的两个方案。比较这两个方案，发现后一个成功方案需增加一个辅助粒子、一个酉变换和一个单粒子投影测量这三个额外要求，且成功的概率一般来说是小于1的。如果那么后者成功的概率2β2=,这时后一方案成了标准的前一方案。也就是说，后一方案是前一方案的推广。明显地，酉变换U0和U1都可以分解为二阶酉矩阵。本文方案需要用到单粒子测量、Bell-态、受控非门、Pauli算子、简单的酉变换Uk和经典通信，所有这些在现代实验技术下都是可以实验实现的。

值得注意的是：非局域Bell-态测量可以视为一个产生最大纠缠Bell-态的提纯方案。事实上，如果制备处于态的两个粒子A和B，以及一个被两方分享的部分纠缠对，根据本文方法，就能够得到一个最大纠缠对：

文献[32]指出：通过纠缠交换提纯的最优概率为2β2，这正与本文方案相同。

在本文方案的基础上，Bob对

中的粒子B施行σ(i,j)运算，即

从式（3）知，以最大纠缠对或部分纠缠对作为量子信道，两个单量子态和可以生产一个新的两量子纠缠态。这个结论可以推广到更一般的情形。事实上，假设Alice拥有量子态Bob拥有量子态并且他们事先一个部分纠缠对其中粒子C和D分别属于Alice和Bob任意不同的量子态。现在，Alice应用于粒子A和C，然后用计算基去测量粒子C，并将测量结果告诉Bob。在上述操作后，态塌陷成下列态之一：

收到Alice的信息后，Bob对粒子D执行一个适当Pauli运算，接着引入辅助处于初态的辅助粒子b，然后对粒子D和b施行一个适当的酉变换U，再测量粒子b。这样，系统态最后变成

这与等式（2）的态非常相似。因此采用第2章中Bob实施的第（2）～（4）中的方法，就能得到如下态：

结合上面讨论，从本文方案中还可得到如下结论：利用部分纠缠对作为量子信道，可由两个任意纠缠态生成一些新的最大纠缠态，比如

等等。

综上所述，首先提出一个以最大纠缠对为量子信道的执行非局域Bell-态测量的确定性方案，然后将它推广到以部分纠缠对作为量子信道的情形。本文发现：不论最大或部分纠缠对作为量子信道，所以Bell-态的非局域测量总可以施行。当然，也讨论了非局域Bell-态测量所需的资源，并指出推广方案可视为一种提纯方案。

进一步，说明了在现有技术下本文方案实验实现是可行。此外，本文发现提出的方案可以用于构造新的量子纠缠态，这对于丰富量子纠缠资源具有非常重要的意义。