基于学科核心素养的概念教学——以“平面直角坐标系”一课为例

陈莉红，谭今歌

（江西省教育厅教学教材研究室；吉林省长春市净月第一实验学校）

在第十届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动中，谭今歌老师执教了“平面直角坐标系”一课，该节课围绕问题解决的过程，突出了探究活动的设计，体现了由直观到抽象、由特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想，发展了学生的数学核心素养.该课具有一定的示范性，现对本节课的主要特点评析如下.

一、制定合理的教学目标，找准核心素养的孕育点和生长点

“平面直角坐标系”一课的教学目标及解析如下.

（1）通过实际问题生成平面直角坐标系，理解平面直角坐标系及相关概念.

（2）通过教师示范，学生动手操作过程，使学生会画平面直角坐标系.

（3）通过设计由点的位置写出点的坐标，根据坐标描出点的教学环节，探究平面直角坐标系上的点与有序实数对之间的一一对应关系.

目标（1）解析：学生经历由实际问题逐步抽象为数学问题的过程，在已有知识的基础上，通过小组合作，利用数轴探究表示平面上点的方法，体会从一维空间到二维空间的过渡，构建数学模型，渗透数学抽象、数学建模的核心素养.

目标（2）解析：通过先让学生观察教师示范画平面直角坐标系，再让学生经历动手操作，达到加深对概念的理解，并培养良好的作图习惯的目的，这也是直观想象素养在学习中的具体要求.

目标（3）解析：平面直角坐标系是建立平面上的点与有序数对之间联系的重要工具，通过借助平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标，并能根据坐标描出点的位置，让学生加深对概念理解的同时，归纳平面直角坐标系上的点与有序数对之间的一一对应关系，进一步发展直观想象的核心素养；通过平面直角坐标系中四个象限的生成过程体会分类思想.

教学重点：通过实际问题生成平面直角坐标系及相关概念.

教学难点：平面直角坐标系的概念的生成.

执教教师利用探究式教学突出重点、突破难点.

【评析】《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）第三学段对坐标与图形的位置要求如下：（1）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置.（2）理解平面直角坐标系的相关概念，能画出平面直角坐标系.在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标.（3）在实际问题中，能建立适当的正方形的直角坐标系，描述物体的位置.

关于确定图形的位置，在第一学段要求定性描述（如用上下左右前后描述相对位置，用东南西北描述绝对位置）；在第二学段要求定量刻画（如用有序数对描述物体的位置）；在第三学段要求建立平面直角坐标系，在直角坐标系中确定图形（点或简单图形）的位置.

由此可见，学生在小学阶段已经经历了由定性描述到定量刻画的过程，初中阶段要学习数轴、平面直角坐标系，实现从一维空间到二维空间的拓展，为以后拓展到三维、四维或更多维空间打下基础.在学习平面直角坐标系之前，学生已经具备了有序数对及数轴的知识基础，根据《标准》的要求，本节课的主要内容有：平面直角坐标系的概念；能画出平面直角坐标系；能根据点的位置写出点的坐标；能根据点的坐标描出点的位置；在实际问题情境中能建立适当平面直角坐标系帮助解决问题，即由理解概念到掌握概念到运用概念的过程.本节课是第1课时，可以定位成概念的起始课，对于这样的概念起始课，教师往往会把重点放在大量习题训练上，并以此作为理解概念的教学手段.这只是解决了“学什么”的问题，并没有解决“为什么学”和“怎么学”的问题.因此本节课的教学目标不仅明确了学习的主要内容，还把重、难点定位在概念的生成上，即明确了学习平面直角坐标系的必要性；解决了“为什么学”的问题，并指出利用探究式教学突出重点，突破难点，即明确了“怎么学”的问题，并把数学抽象，数学建模，直观想象与每个教学目标相对接，落实在具体的教学环节中.

二、创设情境，问题引领，探究概念生成，凸显数学抽象与数学建模

教学片断1：情境引入环节.

问题1：如果邀请朋友到你家里做客，你是如何向朋友描述你家小区的位置呢？

生1：介绍在某某路与某某街的交叉位置.

生2：告诉他小区名，用导航找位置.

生3：在地图中找地名，有经度和纬度.

问题2：老师在学校收到A，B，C三位同学向我发送的位置，通过地图可以很清晰地看到几位同学家小区的位置（如图1）.你能帮助老师用数轴来表示这三名同学家的位置吗？试以小组为单位结合手中的地图纸，以学校为原点，将同学A，B，C家的位置表示出来.

图1

追问1：同学A（或同学B）家的位置怎样表示？

生4：同学A（或同学B）家与学校在一条线上，可把他们抽象成点，用数轴表示.

师：那怎么表示距离为多少呢？

生5：借助网格纸上的格点，可以标出数轴上的单位长度.

师：很好.与原点在一条直线上的两个点，可以画一个数轴来确定它们的位置（如图2）.

图2

追问2：同学C家的位置可以怎样表示？

生6：可以连接OC，用刻度尺量出OC的长度.

师：不错.那只有这一个量能确定点C的位置吗？

生7：还可以测量一个角度θ.

生8：点C在横、纵两个方向的交会处，可以直接从格点看出数值大小.

师：这两种方法都可以，同学们喜欢哪一种？

生：第二种.

师：为什么？

生9：第一种方法中的距离和角度不好测量，测量容易有误差，导致测量结果不准确.

师：我们发现，平面上确定点的位置需要两个量.图3是用角度θ和距离OC来确定点C的位置，如在海平面上，我们会用方位角和距离来描述船只之间的相对位置，这是以后要学习的极坐标；图4借助相互垂直相交的数轴确定点C的位置，也就是我们今天要学习的平面直角坐标系.

图3

图4

问题3：能借助这样的两条数轴表示同学A，B，C家的位置吗？点D的位置怎么表示呢？

平面上A，B，C三点的位置如图5所示.去掉网格后即为如图6所示的情况.其中由于点D在水平轴上的对应的数为-800，在铅直轴的对应的数为800，因此点D的位置表示为D(-800，800).借助这样的两条数轴，平面内的点可以用一对有序实数表示出来.把水平的数轴叫做x轴（或横轴），铅直的数轴叫做y轴（或纵轴），这两条数轴就组成了平面直角坐标系.

图5

图6

追问1：构成平面直角坐标系的两条数轴有怎样的特点？

追问2：借助平面直角坐标系，你能说出图6中点E的坐标吗？

追问3：能否借助平面直角坐标系将A，B，O三个点的坐标写出来？

在此环节中，教师撤去实际情境，将实际问题抽象成数学问题，去掉网格线，并通过抽象出的两条数轴表示点D的位置，最终得出平面直角坐标系及相关概念.教师引导学生概括出平面直角坐标系的特征：两条数轴互相垂直，原点重合（仍是坐标原点），且（一般情况）具有相同的单位长度.用来表示点的位置的有序实数对称为平面直角坐标系下点的坐标，记作Px，y)，其中x是点P的横坐标，y是点P的纵坐标.再通过写出点A，B，O，E的坐标，让学生感悟一维空间下点的坐标与二维空间下点的坐标的区别.

【评析】在此环节中，执教教师以学生熟悉的学校及周边小区为背景，让学生借助数轴表示三位同学家的位置.由最初的地图到网格图到引入字母、点等来表示三位同学家的位置，在这里实现了第一次的抽象，即把实际问题抽象成数学问题.由两位同学的家（点A，B）和学校（点O）在一条直线上，可以借助数轴上的实数表示直线上的点的方法，容易表示出A，B两点，这是第二次抽象，即建立数轴模型.而确定点C的位置是本节课的难点，A，B，C三点不共线，因此它们在一个平面上用一个数轴显然无法表达，再通过问题的设置，让学生初步感知表示平面上的某一位置需要两个元素，使其得出表示点C需要借助两条数轴；通过小组合作探究，得出两种方法，引导学生体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.执教教师引导学生经过逐一辨析，最终初步建立的平面直角坐标系的模型，这是第三次抽象.

本节课中课堂引入的问题设置是很成功的，既能往前延伸与学生已有的知识储备相衔接，又能引导、启发学生进行下一阶段的探索，激发兴趣，很自然地引导学生实现了从线到面、从一维空间到二维空间的过渡.教学过程中网格纸的使用，对学生探究归纳概括平面直角坐标系的概念及特征起到很大的作用，降低了难度，增加了可操作性.在表示A，B，C，O等点时，可借助网格纸格点的位置，学生很容易找到横、纵的长度，这时候学习的重心放在刻画点的位置需要几个元素上，所以不需要在如何找到横、纵的距离上花费时间，帮助学生归纳出平面直角坐标系中数轴的特点.而在平面直角坐标系的概念建立以后，网格就没有了，学生再进一步确定A，B，C，O，D，E等点的坐标时，就必须有意识地用到数轴上的单位长度，以及分别向x轴，y轴作垂线找到坐标.这个过程中网格线从有到无，又实现了第四次的数学抽象，体现了由直观到抽象的过程，凸显发展学生数学抽象素养的目标.数轴和网格纸的使用为建立平面直角坐标系这一数学模型提供了直观的基础，也说明了直观想象素养是数学抽象的基础.在概念生成过程中，教师一次次的设问与追问，点起学生思维的火花，激发学生学习的热情.

三、以活动为载体，探究概念的本质特征，培养直观想象的素养

教学片断2：活动探究环节.

活动1：怎么画出规范的平面直角坐标系？工具：如图7所示的网格纸.

图7

师生活动：学生以小组为单位，以点O为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系（每个小正方形的边长为1）.教师示范作图，在黑板上画平面直角坐标系，强调画平面直角坐标系的相关事宜.然后学生结合网格纸按照要求作图，教师观察各小组作图情况，并用课件展示.

活动2：在你所建立的平面直角坐标系下分别标出点A～点E的坐标.

追问：借助平面直角坐标系，平面内的任意一点是否都能写出坐标？

学生通过实践达成共识：借助平面直角坐标系，可以写出平面内任意一点的坐标.

活动3：任意说出一个点的坐标，并在所建的平面直角坐标系中找到该点.

师生活动：教师说出坐标，学生找点；鼓励学生说出不同点的坐标，其他学生找点.例如，(0，0)，(3，0)，(-5，0)，(0，2)，(0，-1)，(3.5，3.5)，(-4，-3)，(8，-1)，……

总结：通过前面活动你能得出什么结论？

教师引导学生回答平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应.

活动4：如图8，观察你画出的点的位置及它们坐标的特点，将它们进行分类，并说出理由.

图8

学生小组合作进行探究，得出四个象限及每个象限的点的坐标特征，两坐标轴的点不属于任何象限，坐标轴上点的坐标特点（至少有一个为0）.

【评析】本环节共设置了四个探究活动，分别对应画坐标轴、写点坐标、描点位置、区分象限点与坐标轴上的点四个目标.通过作图加深学生对概念的理解和落实；通过借助同一平面直角坐标系中由点来确定坐标并由坐标确定点，探究点与有序数对之间的对应关系；通过对大量点的坐标进行分类，体验分类思想；再通过寻找坐标共性归纳概括出平面直角坐标系下的四个象限.所有活动都是在教师引导下，学生自己动手操作，探究归纳得出结论，教师及时纠正学生表述上的不严谨.在画坐标系的活动1中，再一次用到了网格纸，在网格上学生很容易画数轴，处理垂直和横、纵单位长度相同的问题，降低操作的难度，把注意力集中在观察归纳概括表达上.教师再亲自画图示范，为学生养成良好的作图习惯打下基础，进一步发展了学生直观想象的核心素养.活动2和活动3的设计体现了由特殊到一般的探究思路，渗透了数形结合、分类讨论的数学思想.

“平面直角坐标系”这节课思路清晰流畅，执教教师教态自然亲切，语言简洁，表达准确，板书整洁清楚，粉笔字写得很棒，充分体现了教师个人优秀的教学素养.但本节课也存在如下不足：（1）在情境引入环节中，所举案例中存在GPS、经度纬度等地理专业名词，这是三维空间概念，与平面直角坐标系的二维定位有区别.可以列举在地图上描述某地的位置，海平面上确定船只的位置等，这样处理就避免出现用三维解释二维的现象.在课堂结束时，教师可以再次引导学生联想到三维或多维的角度，使得本节课从一维到二维到三维的思路更加清晰，也利于学生思维的拓展.（2）在引导学生归纳象限点与坐标轴上点的特征时，还可以立意更高一些，不仅仅是归纳，更应该引导学生通过逻辑推理来帮助掌握这些点的坐标特征，以便于更好的应用.

“平面直角坐标系”是一节概念起始课，执教教师以问题为载体，以问题解决为主线展开教学.在情境引入环节以问题引导构建模型，活动探究环节以活动引领进行探究.在两个教学环节中渗透的数学素养有数学抽象、数学建模、直观想象、合情推理等.

数学问题解决的方式是先将问题变成可用数或图形呈现的形态，做出一些个案，然后以归纳或演绎的方式把个案的解法形成一个数学模式，这样的问题解决历程，在数学课程内应一再出现，使学生耳濡目染，在不知不觉中学到一种新的思维方式.当学生习惯于面对非常规问题进行解决问题的一种新活动时，他就养成了主动思考的习惯.

所以尽管核心素养的落地根据教学内容的不同有不同的教学形态，但落脚点最终还是应落在学生学习数学的思维方式、学习习惯及自主学习的能力培养上.本节课学生经历了由生活到数学、由具体到抽象、由特殊到一般的思维过程，在教师的引领下主动探究、合情推理、规范表达，这正是我们除了知识内容以外需要学生通过数学学习得到的思维品质，也是数学学科素养落地的形态.