四面体外接球半径的常规求法

☉湖北省武汉市第四十三中学 卢 伟

近几年来，随着三视图的引入，使得立体几何客观题的考查形式趋于多样化，这其中表现突出的就是四面体外接球球心在哪里的问题.下面结合具体例题的分析，归纳，并得出结论，以期能够对这一类问题有一个较为广泛的认识.（以下例题均只求取四面体外接球的半径R）

一、定义法

球心到球面上各点的距离相等，即为半径.

下面通过对两大类型的分析，从而确定相关特征的四面体外接球球心的位置.

第一类型：“垂直+条件”型（有一条侧棱与底面垂直的四面体）

例1 在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC为边长是3的正三角形，且SA=6，求R.

解析：首先找到△ABC的外心G，作OG⊥面ABC，且使得OG=SA，则满足条件的O即为该四面体外接球的球心，再取SA的中点M，连接OM，如图1所示，经计算知R=2

图1

例2 在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SC=2，求R.

解析：如图2，易证BC⊥SB，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半知SC的中点O即为球心，故R=1.（事实上，这里与例1的解题思想是一致的）

例3 在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=AS=2，求R.

图2

小结：这3个例题都是属于“垂直+条件”型的四面体外接球球心的问题.根据例1的作图方式我们知道，关键是先找到底面△ABC的外心，这里是分别以特殊三角形（等边三角形，直角三角形）与一般三角形（利用正弦定理）为背景，寻找突破口，则可以得到这类问题的统一计算公式.（这里r是底面三角形的外接圆半径，b为垂线段AS的长）

第二类型：“等腰+条件”型 （定义一类特殊的四面体——等腰四面体：三条侧棱相等的四面体）

例4 已知在四面体S-ABC中，SA=SB=SC=2，∠BAC=30°，BC=1，求R.

解析：我们知道等腰四面体顶点S在底面的射影是底面三角形的外心H，其外接球球心O一定在SH上，如图3所示，经计算知

图3

小结：这里对于△ABC的形状的讨论方式与类型是一致的，故可以得出统一公式（其中SA=m，r为△ABC的外接圆半径）.

二、还原法

通过等价方式，将四面体的顶点还原到长（正）方体的顶点上去，从而确定其体对角线的中点即为球心.

下面再定义几类特殊的四面体：

（1）直角四面体：有共顶点的三条棱两两垂直的四面体；

（2）对等四面体：三对对角线相等的四面体；

（3）正四面体：所有棱长相等的四面体.

例5 在四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，它们的长分别为，2，3，求R.

图4

小结：在四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，它们的长分别为a，b，c，则

例6 在四面体S-ABC中，SA=BC=5，SB=AC=，SC=AB=，求R.

解析：如图5所示，结合直角四面体的处理方式.

图5

设长方体的长宽高分别为x，y，z知，

小结：在对等四面体中，SA=BC=a，SB=AC=b，SC=AB=c，则

例7 在棱长为4的正四面体S-ABC中，求R.

三、向量法

通过建系，写出相关点的空间坐标，再结合两点间的距离公式，回归定义，即可求取R.这里给出例1的向量法过程.建立如图6所示的空间直角坐标系知，A（0，0，0），BC（0，3，0），S（0，0，6）.

设球心O（x，y，z），半径为R.

图6

小结：向量法的过程较为直接，省去了传统的分析过程，计算量不大，但前提是要方便建系，并且能够写相关点的坐标.

综上，我们知道，关于四面体外接球球心的寻找过程是比较灵活多变的，至于方法的选用，就需要我们对已知条件进行准确的分析，合理的定位，或回归定义，或等价还原，或规范建系，只有这样，我们才能够寻找到最优的解法.F