基础 素养 引领——2018年全国Ⅰ卷理科数学评析

☉安徽省合肥市第七中学 左 华

☉合肥市教育科学研究院 许晓天

当考生欣喜地走出2018年数学高考考试的考场时，教师、学生和家长都如释重负，多年的努力终有斩获，倍感欣慰.而广大教师更渴盼从此试卷中窥见2018年下半年实施新课程的教学和评价的要求.我们知道新高考的核心功能是：立德树人、服务选才、引导教学，在2018年全国Ⅰ卷理科数学试卷中，高考的核心功能得到了很好的体现.今年全国卷Ⅰ文科与理科同题的数量增多，这为以后的高考文理科合卷，作了一定的铺垫和过渡.限于篇幅，本文将对今年全国高考数学理科Ⅰ卷进行评析，仅供同仁参考.

一、近3年全国Ⅰ卷理科数学考查知识点的对比与综述

题号 2016 2017 2018 1集合的运算（交集），一元二次不等式的解集集合的概念及运算复数的模及复数的四则运算2 复数的模及复数的四则运算几何概型集合的概念及运算3 等差数列的性质、前n项和饼状图及数据分析4 几何概型 等差数列的基本运算复数的概念与运算等差数列的基本运算5 双曲线的定义、几何性质函数的单调性与奇偶性 函数的切线6 三视图，球的体积和表面积 二项式展开式 平面向量7 函数图像的判定 多面体的三视图及表面积圆柱体的最短距离8 指数函数、对数函数的性质直线与抛物线的位置关系9 循环结构的程序框图循环结构的程序框图三角函数图像的平移与变换 函数的零点问题10抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 几何概型11异面直线的夹角 基本不等式 双曲线

12三角函数的图像与性质 数列的性质 正方体的截面13平面向量的数量积及坐标运算简单线性规划求最值14二项式定理（指定项的系数）向量的夹角、向量的模简单线性规划求最值 数列的性质15等比数列的性质 双曲线的几何性质排列组合16线性规划的实际应用导数的应用，三棱锥的体积三角函数，导数求最值17正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦公式正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理18面面位置关系的判定，二面角，空间向量的应用平面与平面垂直的判定，二面角平面与平面垂直的判定，直线与平面所成角19柱状图，离散型随机变量的分布列、数学期望数学期望，离散型随机变量及分布列椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系20直线与圆锥曲线的综合问题（定值、动点轨迹、范围问题）椭圆的标准方程和几何性质，直线与椭圆的位置关系数学期望，二项分布，利用导数求最值点21利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题利用导数讨论函数的单调性，函数的零点利用导数讨论函数的单调性，函数的极值点22 四点共圆、直线与圆的位置关系及证明参数方程与普通方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用23参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用解绝对值不等式、求参数的取值范围解绝对值不等式、求参数的取值范围24分段函数的图象，解绝对值不等式 无 无

从近3年来的高考知识点对比来看，高中数学主干知识的考查无论在哪一年一直都是重中之重，对于常考的知识点和方法持续考查不回避.但每年试卷中的知识点的考查顺序会根据命题的难度系数由易到难重新安排.

今年的选择和填空题中，程序框图和二项式定理没有涉及.选择题的压轴题依然是第11和12题，第11题主要考查双曲线的渐近线以及焦点的性质，第12题重点考查了正方体的截面面积的最值问题，对学生的空间想象能力要求较高.填空题中的前3题较基础，第16题作为填空的压轴题解法较多，可以利用简单的三角恒等变换及均值不等式来求解，也可以利用导数来求最值，而具体在求导过程中涉及到复合函数的求导，这一知识点对大多数考生来说是个易错点，不过也可以利用二倍角公式展开后转化成具有乘积形式的函数，然后再求导来解决问题，这也体现了高考试题入手较宽的特点.

今年的解答题，将概率统计和解析几何顺序做了调整，意味着这两道题的难度系数有了变化，前者难度有所加大，其他题目难度保持稳定.另外，连续3年的第17题都考查了三角函数及解三角形的知识，选择和填空题中，对数列的考查要求也不高.第18题的立体几何考查了面面垂直及直线与平面所成的角，而且整套试卷中并没有考查二面角，无形中也降低了难度.对于直线与平面所成的角直接用几何法回归到直线与平面所成角的定义来求解也很方便，这正体现了立体几何的本质.第19题与往年相比变动较大，这次考了解析几何，背景依然是椭圆，题型较常见，大部分学生在平时基本都做过类似的问题，解决问题的关键是要把已知不熟悉的证明角相等的问题转化为相关的两条直线的斜率之和为零来解答，这也是对学生计算能力考查的重要方面.第20题是概率统计题，题型设置与生产生活实际息息相关，与去年不同的是这次考查的是二项分布，还结合导数知识来求函数的最大值点，将概率统计问题与函数、导数的应用有机地结合在一起，考查了学生的独立思考，自主探索的能力，是难得的好题.第21题导数题考查的题型比较常见，近3年来导数的第一问都考查了含参数函数单调性的分类讨论问题，平时学生对这类题型训练的较多，相信会有不少学生能够准确作答.第二问结合第一问的结果，考查对双变量问题的处理以及韦达定理的应用，是比较常见的多变量转化为单变量的处理方式，最后构造函数证明不等式成立.

二、2018年全国Ⅰ卷理科数学试卷特点分析

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在评价原则中提出：考查内容应围绕数学主线内容，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧；融入数学文化.

命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识，问题情境的设计应自然、合理.

众所周知，新一轮的课程改革已经在全国部分省（市）启动，2018年下半年将全面铺开.因而2018至2020年过渡时期的高考试卷，一定对我们的课堂教学发挥过渡与导向的作用，今年的试卷正说明了这一点.

1.注重基础，全面考查

2018年的高考全国Ⅰ卷理科数学依然重视对四基：“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的考查，如选择题前9题和往年大致一样，题型相似，涵盖了高中数学中常见的集合、复数、统计、数列、函数、向量、三视图、解析几何等知识内容；填空题中的第13、14、15题也是分别对线性规划、数列、排列组合知识的考查；解答题的第17题依然考查了三角函数及正余弦定理的相关知识，这些考题有效地对学生的“四基”进行了的全面的测量.

2.考查通法，淡化技巧

所谓“通性通法”是指普遍性的数学思想方法，是对数学知识最高层次的概括与提炼，近几年来一直是高考考查的核心.我们知道：利用特殊技巧解题是对特殊和个别问题而采取的“技巧”解法，往往“就事论事”，甚至“自古华山一条路”，大多数学生面对这种“绝妙”想法，因为自己无法够着，从而慢慢丧失数学学习的兴趣.2018年的高考理科数学全国Ⅰ卷同样突出了对通性通法的考查，如第5题考查了曲线切线方程的求法；第13题考查利用线性规划求最值的方法；第16题考查利用导数求函数最值的方法等，诸如此类还有很多的试题都是对数学中通性通法最直接的考查.

3.强调应用，渗透文化

数学来源于生活，又服务于生活，学习数学的最终目的是解决问题，特别是解决实际问题.例如：全国卷Ⅰ理科第3题考查了饼状图，而这一题的背景就来自于我国现阶段新农村建设的现实，让人耳目一新，考查的本质是利用统计数据分析来解决问题；第20题是关于产品检验的一道题，其本质是利用统计中极大似然法进行估计和决策的实际问题；第10题渗透对数学文化的考查，问题的背景来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，其难度不大，有利于提高学生学习数学的兴趣.

4.重视计算，凸显思维

数学学习和解决问题需要学生的数学思维，同时，数学计算是保证数学学习和解决问题的重要因素.在2018年的高考理科数学全国Ⅰ卷中的试题中，既有注重数学思维的试题，也有注重计算能力的试题，如：第6、7、9、10、11、12、13题都注重对数形结合思想方法的考查；第21题注重对分类讨论数学思想方法的考查；而第1、2、4、14、17、19题重视对数学计算能力的考查.

5.传统考点，要求各异

对数列、立体几何和解析几何三大传统考点，要求不尽相同.2018年的高考全国Ⅰ卷理科数学中对数列知识点的考查延续了近3年的高考特色：只有一道选择题和一道填空题，而且都是对数列基本知识的考查.这给我们今后教学指明了方向，即对数列知识不宜做过多的拓展.试卷中立体几何的有关知识点考了3题，解析几何的有关知识点考了3题，其中对立体几何的知识考查，相对稳定，解析几何的内容既有基础知识的考查，也有一定思维和计算量的考查，但较之前两年难度有所下降.

6.素养立意，重在思维

整套试题在注重数学知识考查的同时，又重视了数学核心素养的考查.数学新课标指出：学生在数学学习的过程中要形成数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大学科核心素养，今年高考试题在很多题目中都体现了对学生学科六大核心素养的考查.下面举例说明.

例1（理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）.

图1

解法1：如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BD，BC1，C1D，则易知△BC1D是正三角形，由于正方体的12条棱中可以分为三类，它们分别平行于BC，CC1，CD，每类有4条，则平面BC1D与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，因而平面α与平面BC1D平行或重合.通过图形观察可知，当平面α分别位于点C和平面BC1D之间及点A1和平面AB1D1之间或与平面BC1D、AB1D1重合时截面为三角形，且此时截面面积最大时为.而当平面α位于平面AB1D1与平面BC1D之间时截面为六边形，且此时截面的面积都大.不妨设平面α与平面A1B1C1D1所成的二面角为θ，由于，故当截面的投影面积最大时，截面面积最大.图2中六边形EFGHJK是平面α位于平面AB1D1与平面BC1D之间时所产生的截面，其在平面A1B1C1D1上的投影是如图3所示的六边形E1F1B1HJD1，且满足，不妨设这个比值为x，

图2

图3

解法2：同解法1知当平面α位于平面AB1D1与平面BC1D之间时截面为六边形，易知该六边形的周长为定值，则当该六边形是正六边形时面积最大，且正六边形的边长为，此时截面的面积为

分析：这道题作为选择的压轴题具有一定的难度，考查了学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

三、对全国Ⅰ卷理科数学命题的思考

2018年的全国Ⅰ卷理科高考试卷，既能有效地为高校选拨优秀的人才，又能更好地引导我们的教学，特别是高三复习的教学，因而是一份难得的好试卷.

1.有利考生

采用全国卷Ⅰ有：河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建9省，由于考生众多，样本大，加上教育发展的不平衡，导致考生学习程度参差不齐，因此试题设置了超过100分的基本题，是对广大考生的基本检测，是考生将来学习或工作的基础.选择题前三题几乎不用动笔，直接就可写出答案，这样的设计，有利于考生平复自己的心情.整套试卷按照试题的难易程度，由易到难设计问题，有利于考生渐进式的发挥，最后达到思维的巅峰.整套试卷设计，充分体现了命题专家对考生的“关爱”，有利于考生正常或超常发挥自己的水平.

2.导向鲜明

试卷中的第12、16、20和21题，从不同数学知识的角度，全面考查了学生学科六大数学核心素养，这些问题达到了为高校选拔高素养人才的目的.只有考生具有较高的素养，特别是思维的综合性和创新性，方能合理解决上述四考题.至于其他的考题，大多数题型学生熟悉，解法常规，也就是：基础与素养考查并重，全面考查四大基础和六大学科核心素养是今年高考的两条主线.

3.有利减负

现在我们的社会“急功近利”，部分学校为了高考所谓的好成绩，课程安排不仅在周一到周五，甚至周六，几乎每天8或9节课，更是“白加黑”的上课.在教师的“辛苦”教导下，学生更是没有时间总结和建构数学知识与结构，更谈不上从实践中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.学生围绕着教师布置的“条件和结论”都确定的各种复习资料上面的“陈题”，反反复复练习.今年高考后，笔者问了几所学校的高三教师：你们今年的复习针对高考试题是否对路？大部分说：百分之九十五左右的精力都白费了.这反过来说明，今年的高考试题是一套“减负”的好试卷.如果坚持此种命题的模式，让教师拼命“训练”的学生与完成基本训练就主动学习的学生，在基本题上面几乎没有差距，而对第12、16、20和22题，后者却有很大优势.只有如此，才能够完全让教师和学生从训练的“题海”中解放出来，从而学生有时间去：思考学习的数学知识，形成完善的认知结构；应用数学知识，创造性地解决实际问题；更有时间去学习后续或更深的知识和参加社会实践活动.让教师有时间去思考自己的教学，改进自己的教学，努力发展自己的教师专业化水平.

4.一点感想

纵观整套试卷，对选择题第11、12题，填空题的第16题和解答题中的第20、21题的第Ⅱ问，在思维的深度上可以进一步加强.这些题是为数学学科核心素养高的学生，也就是为全国顶尖高校选拔人才服务的.试题必须是原创的新题，不能够从题库中抽取，也不能够改编“陈题”.这让平时教学中，特别是高三教学复习中，采用“野蛮”训练和拼命“刷题”的学生得不到任何便宜.这样做，引导着我们的教与学，让教师和学生在数学学科核心素养上下功夫，不可以“机械训练”，为学生的全面发展和终身发展打下优质良好的基础，切实可行地减轻教师和学生负担.

今年全国Ⅰ卷理科数学第20题，是一道难得考查学生综合素养的好题，这道应用题，命题专家从实际问题中提炼出学生容易理解，并利用概率模型和导数工具解决的问题，命题专家付出了太多的精力和智慧.

例2（理科第20题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每箱产品在交付用户前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格的概率为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0；

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用，

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

第（2）问发给考生的“国标”给出参考答案如下：（2）（i）已检验的20件产品的检验费用为20×2=40元.该箱余下的产品的不合格品件数服从二项分布，估计不合格品件数为180×=18，若不对该箱余下的产品作检验，余下的产品的赔偿费用估计为18×25=450元.所以，若不对该箱余下的产品作检验，则EX=40+450=490.

（ii）若对该箱余下的产品都作检验，则只需支付检验费用，EX=40+180×2=400，因为490＞400，所以应该对这箱余下的所有产品都作检验.

但是仔细阅读题目，可以发现如果出现不合格产品则更换为合格产品，而题目中并没有明确指出进行更换的合格产品是怎么产生的，有没有可能这些合格产品仍然是来自原来的产品.若按照不合格品率为来计算，0总共需要补充20件合格品，而此时需要补充的这20件合格产品就需要检验

即需检验23件产品，检验费用为23×2=46元，从而若对余下的产品都作检验，共需要支付检验费用应为400+46=446元，显然有歧义.只要在原题中加上“直接”两字，即把原问题中“如检验出不合格品，则更换为合格品”改为：“如检验出不合格品，则直接更换为合格品”，这样“国标”答案就完全正确了.当然，两种解答，对“需检验”的最终结果没有改变.因此，命题的“题面”中的“自然语言”一定要准确，没有任何的“歧义”.

总之，2018年全国Ⅰ高考理科试卷，在“考查基础、注重素养和引导教学”三方面特点凸显，达到了甄别学生进入高等学校继续学习潜能的目的，也为我们高中数学教学，特别是高三复习教学，指出了明确的方向.H