探析命题特点 引领课改方向*——2018年高考全国Ⅱ卷数学试题评述

☉重庆市教育科学研究院 张晓斌

☉重庆市复旦中学 李 波

☉重庆市育才中学 范美卿

《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《课标》）颁布之后，社会对2019年开始在全国推行新一轮课程改革方案如何更好的实施，考试如何评价等热点问题，进行了很多的讨论，这就注定了2018年高考命题是不一样的，它会向外界释放着更多的信息，有待我们去挖掘.它是一个风向标，引领课程改革、考试评价的方向.因此，我们必须研究全国卷的命题特点，摸清命题规律，明晰命题趋势，探寻试题中蕴含的新课改数学高考变化信息.

一、命题思路分析

新一轮课改在以浙江、上海为代表的省市先行先试的情况下促进了学生升学通道日趋多元化，如参加国外高考、保送生、各高校自主招生、各省市春季招生等情况，高考承担着优生选拔的功能性被不断分流稀释，参加6月份高考考生人数、优生比例同期相比逐年下降.特别是数学学科今后新高考文理科学生同卷，也不再有文理分科之说.在这样的背景下，2018年全国Ⅱ卷文、理科数学试题命制，严格遵循《普通高中数学课程标准（实验）》（以下称《实验课标》）的要求，紧扣《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》与《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（数学）》，难度系数与往年相比有所降低，特别重视对数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的考查.

二、试卷结构分析

在未进入新高考的这几年，全国Ⅱ卷试卷结构、分值分布等会保持稳定不变.2018年全国Ⅱ卷数学试卷有12道选择题，4道填空题，6道解答题.解答题分必考内容和选考内容，必考内容有5道题，为必做题；选考内容有2道题，考生只需从2道题中任选1道题作答即可，也即“2选1”模式，两道选考题分别考查极坐标与参数方程、不等式选讲内容.全卷单选题60分，填空题20分，解答题70分（其中含选考内容10分）.

2018年全国Ⅱ卷文、理考点分析

1 6 圆锥（线面角、侧面积） 圆锥（线面角、体积）1 7 等差数列（求通项、求和、最值）1 8 回归分析（线性模型、模型分析、统计推断）1 9 抛物线与圆（焦点弦的性质和圆的性质）三棱锥（线面垂直、点面距离）2 0 三棱锥（线面垂直、二面角及线面角） 与理科第1 9题相同2 1 导函数（超越函数、最值、零点个数与求参问题）导函数（多项式函数、单调性、零点个数问题）2 2 坐标系与参数方程（化为普通方程、直线参数方程应用）2 3 不等式选讲（含绝对值不等式的解法）

从以上表格中可以看出，集合、复数、函数、向量、算法、概率、三角函数、解三角形、线性规划、双曲线等内容在考查方式上继承了往年的考查方式，数列、立体几何、导数等高中数学主干内容出题也比较稳定，充分体现了试卷对数学知识考查的基础性、全面性和综合性，同时也非常注重对通性通法的考查，坚持以素养导向、能力立意，注重对数学思想方法、人文价值、核心素养、创新意识的考查.

三、命题特点分析

1.文理试卷有较高的趋同性

从上面的表格中可以看出今年高考数学文理科相同题有11道，分值高达79分，姊妹题有7道，分值达到42分，文理科真正不同的题就只有集合题、概率题、三角填空题和函数导数题等，这种文理科高考数学试题出现较高的趋同性，是近几年不多见的，且逐年趋同性呈加大的趋势，这也为今后顺利过渡到不分文理科的新高考数学试卷作了很好的铺垫.

2.体现中学数学与高等数学的有效衔接

虽然极限的概念中学阶段没有给出准确的定义，课标教材中从多方位、多角度渗透了极限思想.在导数概念中运用了极限符号，在研究双曲线渐近线、求的近似值、二分法求方程近似解、统计中研究密度曲线等等都渗透了极限思想.以相关知识为载体，考查极限思想是全国卷的一个变化趋势.

图1

此题立足课标，注重考查教材中蕴含的高等数学思想，尤其是对极限思想的考查，恰当地在中学数学与高等数学知识的交汇处设计试题.

3.注重“立德树人”与人文精神的培养

高考数学考试大纲及考试说明中明确指出，增加中华优秀传统文化的考试内容，积极培养和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.同时数学学科性质决定了数学重要的理论总是在原有理论的基础上继承、发展、建立起来的，它们不会推翻原有的结论，而往往是包含原有的理论.因此，数学史对学生数学素养的培养起着重要的作用.以数学发展史上的重大事件、数学命题、数学名著、数学家的故事为背景，以此提高学生文化素养，引导学生深刻理解数学知识，增强学生的数学思维能力.

例2（2018年全国Ⅱ卷理科第8题）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）.

此题以我国数学家陈景润证明哥德巴赫猜想，作为命题背景，考查古典概型.充分体现了“一点四面”：坚持以立德树人为核心，持续深化对“一点四面”的考查.“一点”就是立德树人；“四面”就是核心价值观、传统文化、以法治国、创新精神.中国传统文化博大精深，源远流长，其中一些文化中所蕴含的数学知识也十分丰富，将立德树人与人文精神综合考查，将是今后高考的趋势，必须加以深入挖掘与探究.

4.突出对统计推断思想与数学应用意识的考查

云计算、大数据、人工智能等手段的出现，为数学应用发展提供了广阔的舞台.《实验课标》提出了应该提供一些基本内容的实际背景，反映数学的应用价值.开展数学建模的学习活动，设立数学应用的专题课程，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活的联系，感受数学的实用文化价值，提高学生的实践能力.

例3（2018年全国Ⅱ卷文理科第18题）图2是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.

图2

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①ˆ=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：yˆ=99+17.5t.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

此题充分考查了数学建模和统计推断的思想，通过对数据分析核心素养的培养，能够让学生养成基于数据思考问题和作图统计推断的习惯，提升基于数据表达现实问题的能力，积累在错综复杂的情景中探索事物的本质、关联和规律的经验.特别是第二问的考查模式与往年高考不同，其答案是多样化和开放式的，只要具有合理理由即可，因此，文理科考生会有不同的切入点.文科生熟悉回归分析，对模型拟合效果仅通过R2来判断，也更倾向于通过预测值结合图表特征，“感觉”那个模型更“合理”；理科考生会从回归分析的角度判断，可通过残差表、残差图、相关性系数R2情况等来判断模型的拟合效果，充分运用“数据”来说话，但试卷未给出R2公式，或因残差计算太复杂，对回答此题考生会有较多困扰.设置这样一个具有发散性的问题，改变了我们对于传统的概率与统计解答题考查方式的认知.

5.导向对数学核心素养的考查

数学学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意、导向素养的命题指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养.修订后的高中数学《课标》提出了六个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.它们与数学能力、数学思想与方法并不矛盾，今后将在高考中会有越来越大的体现.

例4（2018年全国Ⅱ卷文理科第17题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值.

解析：数列是定义在N*上特殊的函数，此题充分考查了等差数列的概念与性质、通项公式、求和公式以及用函数求最值的思想方法等.易得an=2n-9，n∈N*⇒Sn=n2-8n，由二次函数可得Sn有最小值为S4=-16；也可由数列的定义，a1=-7＜0，d=2＞0知，Sn有最小值，即数列前n项的值均为非正数时，只需找到临界项an=2n-9≤0⇒n≤，即前4项的和最小.

本题在考查“四基”的基础上，注意函数思想的融合与运用，让考生站在“函数”的高度来深刻认识“数列”问题，这对学生的基本数学素养提出了一定要求.

例5（2018年全国Ⅱ卷理科第21题）已知函数f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a.

函数导数题目与函数零点相结合考查，可利用零点存在的判定定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，转化为两熟悉的函数图像的上下关系问题，从而构建不等式求解.结合化归与转化的思想方法，考查学生对合理构造辅助函数证明不等式方法的掌握程度，特别是对零点存在必要性和充分性要完善证明，会利用泰勒公式的展开与放缩，也可以构造一个与原函数满足条件的等价函数问题，对参数进行分类讨论，充分利用导数确定函数单调区间和最小值，进而刻画出零点分布情况获得答案.此题不论何种解法，都对学生数学抽象与数学思维品质提出了很高的要求，充分考查了学生分析问题和解决问题的能力.

四、复习建议

1.素养导向，学科育人

高考基于数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析这六大核心素 养，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力和创新意识.在课堂教学中要融入核心素养的培育，重视学生的阅读能力，让学生充分思考，在思考中获取知识，提高抽象推理能力，亲身体验数学的发展.在这样的新课改理念下，我们要认真钻研，将培育学生的“核心素养”作为最终的教学目标.

2.能力立意，情境创新

高考注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的角度考虑问题，在知识交汇点设计试题，使对数学知识的考查达到必要的深度，对学生素质进行全面、综合的衡量，让不同层次的考生充分展示自己的真实实力，从而有效地区分学生的审题、思维等水平，甄别学生的创新力与发展潜力.由于思维能力是学生学习和获得数学知识的主要关键能力，因此，我们在备考复习中要教会学生思考，正如“思则明，明则通，通则变”.同时我们也要关注高考创新情境题型，特别是将知识迁移到不同情境中的创新，这样可以充分检测学生对知识的理解程度、理性思维的深度与广度以及抉择解题方案优化解题的能力.

3.回归教材，落实双基

今年全国Ⅱ卷高考数学试题与去年比较，全卷难度有较大下调，回归数学本源问题，全面落实“四基”.教材是支撑学科知识体系的重点内容，教材中的习题大多蕴含丰富、深刻的背景.高考试题源于教材而高于教材，回归教材是高效备考的重要途径.我们要吃透教材，用活教材，发挥教材的“根基”作用，这就需要学生能站在思想与方法、区别与联系、延伸与拓展的高度去审视教材的概念、定义、定理、公式、结论、例题和习题，积累基本学习经验，落实基础知识和基本技能，深化理解，提高复习效率.