纵向槽和径向槽组合波纹喇叭馈源的优化设计

牛耕 张文静 解磊 杜彪

(中国电子科技集团公司第五十四研究所,石家庄 050081)

引 言

波纹喇叭具有方向图等化、交叉极化电平低、相位中心稳定等优点,被广泛用于反射面天线和透镜天线系统[1-3]. 通常波纹喇叭分大张角和小张角两种形式,大张角波纹喇叭常采用纵向槽或斜槽(垂直于内壁的槽),其波束较宽,多用于前馈抛物面天线或大照射角双反射面天线;小张角波纹喇叭多采用径向槽,其波束较窄,多用于双反射面天线. 对于小张角波纹喇叭,需要将喉部λ/2深的槽渐变过渡到喇叭口面λ/4深的槽,以实现波纹槽的等效导纳值从∞过渡到0,这就造成了小张角波纹喇叭的轴向尺寸较长,体积较大,加工成本较高.

文献[4]首次提出在波纹喇叭的喉部区域采用纵向波纹槽结构,并研发了一款波纹喇叭天线,其轴向尺寸为6.2λ,口径为5.2λ,在16%的工作带宽内旁瓣电平和最大交叉极化电平低于-30 dB.2002年至今, 国内外学者采用纵向槽与径向槽组合形式设计了一系列电性能优良的紧凑型波纹喇叭天线. 设计实例表明,相比传统的波纹喇叭,在喉部区域采用纵向槽的波纹喇叭天线轴向尺寸能缩短40%左右.

到目前为止,文献中报道的纵向槽和径向槽组合形式的波纹喇叭大多作为天线使用,以高增益、低旁瓣、低交叉极化电平等性能为设计目标.针对中小口径反射面天线系统对紧凑型小张角波纹喇叭馈源的需求,本文研究了纵向槽和径向槽组合形式波纹喇叭馈源的优化设计方法,以天线的口径效率为优化目标,采用旋转体时域有限差分(body of revolution finite difference time domain, BOR-FDTD)算法结合协方差矩阵自适应进化策略(covariance matrix adaptation-evolution strategy,CMA-ES)优化算法,实现了纵向槽和径向槽组合形式波纹喇叭馈源的优化设计,并加工和测试了一个Ku频段馈源样机. 计算和实测结果表明,优化后的馈源喇叭在Ku频段(10.7～12.75 GHz)内反射损耗优于-24 dB,峰值交叉极化电平低于-30 dB,应用于标准卡塞格仑天线系统,天线的口径效率大于78%.

1 分析方法与优化算法

BOR-FDTD算法基于傅里叶展开技术,充分利用了结构的旋转对称性,将计算区域从三维空间降到一个二维的旋转对称面上[5]. 相比模式匹配法(mode matching method,MMM)具有较高的计算精度和灵活性,相比三维有限元法(finite element method, FEM)、FDTD算法能明显提高计算速度,节省计算资源[6].

1.1 BOR-FDTD分析方法

将柱坐标系下的电场和磁场分量做傅里叶级数展开,带入到麦克斯韦方程的两个旋度方程,并将与方位角相关的因子提取出来,得到式(1)、式(2)所示的两个旋度方程,其中m是φ方向的模式数.

(1)

(2)

采用如图1所示的电场磁场空间分布形式,对时间和空间的导数应用中心差分近似,得到旋转对称面上电场分量与磁场分量的迭代公式,其中电场分量的迭代公式如下:

(3)

(4)

(5)

式中:Δρ、Δz分别为ρ和z方向的网格尺寸;i为ρ方向的网格编号;j为z方向的网格编号;ρ(i)=iΔr;Δt是时间步长,其满足Courant稳定性条件.

图1 BOR-FDTD差分形式网格Fig.1 Field locations in BOR-FDTD

在计算区域的外围使用各向异性介质完全匹配层(uniaxial perfectly matched layer, UPML)来模拟电磁波在开放空间的传播,并得到外推边界网格上的电磁场分量,继而由近远场变换[7]得到波纹喇叭的远场辐射方向图.

1.2 CMA-ES算法

CMA-ES算法是由Hansen N.和Ostermeier A.在进化策略的基础上发展起来的,其结合了进化策略的可靠性、全局性与自适应协方差矩阵的高引导性[8]. CMA-ES算法的3个核心内容如下:

1) 种群采样策略

CMA-ES通过对上一代种群中μ个最优个体进行加权平均获得下一代的搜索中心m:

(6)

式中,wi是μ个样本的权重值.

(7)

式中,σ(G)和C(G)为步长和协方差矩阵.

2) 协方差矩阵自适应更新策略

CMA-ES中的协方差矩阵更新为

(8)

(9)

3) 步长自适应调整

(10)

式中:dσ为阻尼系数;E‖N(0,I)‖为多元正态分布的期望;pσ为步长进化路径,

(m(G+1)-m(G))/σ(G).

(11)

相比其他进化算法,CMA-ES算法能够避免早熟以及对种群大小的过分依赖,特别适合于高维度、病态不可分问题的求解[9].

2 波纹喇叭的优化模型

纵向槽和径向槽组合形式波纹喇叭馈源由喉部段和张开段组成,如图2所示. 喉部段包括光壁段和纵向波纹槽段,其中纵向槽数量为N,周期pH,槽之间的轴向距离为L. 张开段采用M个径向槽结构,其倾角α,周期pV,齿厚wV,槽深dV,辐射口面的半径为Rout.

图2 波纹喇叭截面示意图Fig.2 Cross section of corrugated horn

文献[10]研究结果表明,纵向槽数量N取2～4个即能实现较好的电性能. 纵向槽的周期pH取最高工作频率fmax对应波长λH的1/5,齿厚wH取0.2pH. 纵向槽深dH和纵向槽之间的轴向距离L会影响纵向槽输出端口TE11模与TM11模的模比和相位,进而对喇叭的波束等化以及交叉极化电平有显著影响. 其中纵向槽深dH初值取为

(12)

dH变化范围取为0～λL/2,其中λL为最低工作频率fmin对应波长. 纵向槽之间的轴向距离Li(i=1,2,…,N)一般为0～λL/3.

喇叭口面半径Rout和半张角α由照射角和边缘照射电平确定. 取径向槽的周期pV为λH/6,齿厚wV为0.2pV,槽深dV初值取为λL/4,其变化范围设定为λL/3～λL/5.

喉部区域的光壁段曲线由n个沿轴向均匀分布的控制点采用三次样条插值函数拟合而成,其中第i个点的半径为Ri,如图2所示. 该种形式的光壁过渡段有利于增加设计自由度,改善回波损耗.

以上三部分中待定参数组成了如下形式的优化向量:

X=[L,dH,dV,R].

(13)

3 波纹喇叭的优化设计

3.1 设计指标

波纹喇叭馈源的设计指标如下:

1) Ku频段:10.7～12.75 GHz,工作频带内反射系数优于-20 dB,峰值交叉极化电平小于-30 dB;

2) 照射角为22°,边缘照射电平为-9～-13 dB,作为反射面天线的馈源应用时,天线口径效率不低于75%．

3.2 适应度函数构造

传统的波纹喇叭优化设计大多以馈源辐射方向图的波束等化、照射电平和交叉极化电平等参数作为优化目标,该方法未能对天线系统的整体性能直接优化,因而不能实现波纹喇叭馈源的最优化设计.相对而言,直接以天线的口径效率为目标对波纹喇叭进行优化设计,能够尽可能提高天线系统的性能,提升优化设计的效率.

为了在优化过程中快速得到天线的口径效率因子,采用效率因子计算公式[11-12]来估算天线的口径效率η:

η=ηspηillηpoηφ．

(14)

式中:ηsp为截获效率,

(15)

ηill为照射效率,

(16)

ηpo为交叉极化效率,

(17)

ηφ为相位效率,

(18)

ψ0为半照射角;co(ψ)和xp(ψ)分别为波纹喇叭的45°面主极化方向图和交叉极化方向图.波纹喇叭的优化设计以最大化天线的口径效率为目标,同时保证工作频带内的回波损耗、照射角内的峰值交叉极化电平满足设计要求,则该问题可以表示为以下目标函数的最小化问题:

f=1-η,

(19)

同时还应满足以下约束条件:

(20)

(21)

式中,LRm和LXPm分别为工作频带内第m个频点的回波损耗和交叉极化电平. 采用精确罚函数法将以上问题转化为无约束优化问题

(22)

式中,K是处理约束的大数.

综上,采用BOR-FDTD结合CMA-ES算法优化波纹喇叭的流程如图3所示. 设置CMA-ES算法的初始进化步长为参数变化范围的1/3,最大评价次数5 000次,求解精度设为1E-8.

图3 波纹喇叭的优化流程图Fig.3 Flow chart of the horn optimization

4 馈源样机与测试验证

根据上述波纹喇叭的优化流程,对Ku频段波纹喇叭馈源进行了优化设计,优化后的喇叭轴向长度4.3λH(95 mm),辐射口面尺寸D为3.6λH(79 mm),按传统的四段结构波纹喇叭[3]设计,其长度为140 mm,本文设计的喇叭长度明显缩短. Ku频段紧凑型波纹喇叭馈源样机照片如图4所示.

图4 紧凑型波纹喇叭馈源Fig.4 Compact corrugated horn feed

图5是喇叭测试与计算的反射系数曲线,两者吻合良好,工作频带内实测最高反射系数为-24 dB,大部分频点优于-27 dB.

图6给出了优化后喇叭的实测方向图与计算方向图的对比.在22°照射角内方向图的E面和H面波束等化良好,计算结果与实测结果的吻合度较高,整个频带内的边缘照射电平为-9.2～-12.8 dB,峰值交叉极化电平小于-30 dB,展现了良好的辐射特性. 上述结果验证了本文优化设计方法的正确性.

(a) 10.7 GHz

(b) 11.9 GHz

(c) 12.75 GHz图6 不同频点喇叭的辐射方向图Fig.6 Radiation patterns of the horn

图7给出了该喇叭照射标准卡塞格仑天线时本文方法估算的天线口径效率,以及将馈源方向图带入到Grasp核算的天线口径效率,在工作频带内天线的口径效率优于78%.

图7 标准卡式天线的口径效率Fig.7 Aperture efficiency of the classical Cassegrain antenna

5 结 论

基于BOR-FDTD和CMA-ES优化算法,以反射面天线系统的口径效率最优为目标,优化设计了一款Ku频段纵向槽和径向槽组合形式的波纹喇叭馈源. 测试结果表明该喇叭在10.7～12.75 GHz频段范围内反射损耗优于-24 dB,并实现了旋转对称的辐射方向图以及低于-30 dB的峰值交叉极化电平. 喇叭作为标准卡塞格仑天线的馈源使用时,天线的口径效率达到了78%以上,显示出了良好的匹配和辐射特性. 本文中馈源样机工作带宽为17%,结合相关文献报道和以往工程经验,该喇叭的带宽可以进一步展宽. 纵向槽和径向槽组合形式的波纹喇叭馈源尺寸紧凑、体积较小、重量轻、易于加工,特别适合应用于中小口径反射面天线,此外对于毫米波、亚毫米波、太赫兹频段的应用,该类型波纹喇叭的优势更为明显.