“追根溯源”学数学

陈艳

摘 要：追根溯源是一种刨根究底的学习方法，是一种探索知识的精神。每一次质疑问难，每一回激趣讨论，每一种研学深挖，如果能追寻本质的问题进行探索，寻求到学习内容的深刻含义和内在联系，那么学生必定会提高分析问题和解决问题的能力，开拓思维，还能拥有创新精神。

关键词：数学；根问题；分数

在长期的小数数学教学中，发现有一部分高年级的学生对于“数”这个大家族中的“分数”心中没底，知识处于混沌之中，久而久之他们对数学产生了畏惧感，慢慢失去了信心。在几年的反思与摸索中可以发现“分数”教学要抓住知识的“根”。

一、在认识分数中寻找“概念”之根

1.在理解意义中“认识分数”

分数的定义在教科书上是这么写的：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。这里的单位“1”非常抽象，孩子从小到大接触最多的是整数，非常直观，比如：1个苹果、3个人、5扇窗户等，再多点，数不清了可以说有一群鸭、一些苹果。而分数定义中的单位“1”无限神秘，包罗万象，一个一个的个体可以看成单位“1”，一群一群的整体也叫单位“1”，不满一个的也可以看成是单位“1”，学生的已有认知得到了巨大的冲击，要从根深蒂固的认知中转过这个弯很难。所以在分数意义教学的过程中对于单位“1”的感悟一定要深刻，体会它与量词“1”的区别。

2.在历史背景中“感悟分数”

从数字的发展历程来看，分数的出现晚于自然数。自然数的运用给人类的生产生活带来的极大地便利，但在很多情况下无法恰好得到整数结果。为了解决这个问题，分数就应运而生了。在除法运算中，两个正整数相除，得到的结果不一定是整数，为了保证除法的正常运算，引入了一种新的数——分数。早在200多年前，著名数学家欧拉在其所著的《通用算术》一书中说：我们无法将一根七米长的绳子三等分，因为目前没有这样的数字表示。如果需要三等分，那么每一份就是三分之七米。是一种新的数，我们称其为分数，这便是今天分数的由来。

3.在相互比较中“理解分数”

分数它有两个身份，一个是具体量，一个是分率。如块饼，这里的块就是具体的，是可看得到的，它和整数、小数在运用上几乎无任何差别。再如太平洋约占地球表面的几分之几，这个代表的是太平洋和地球表面积之间的关系，此时分数代表两个量之间的倍比关系，是抽象的。而小学数学中研究的分数更多指向的是分数代表分率的这一类。所以认识分数，还得帮助学生辨析分数的真实身份。

二、在分数计算中寻找“计算”之根

数学运算即相同计数单位间的加减，这一点同样适用于分数运算。如何处理异分母分数加减法呢？我们就要引导学生寻找“计算”之根。例如：光明小学现有一块长方形试验田，其中1/2种土豆，1/4种蒜苗，那么土豆和蒜苗的种植面积占这块地的多少呢？学生在计算1/2+1/4时出现了不同的声音：

（1）1/2+1/4=2/8 （2）1/2+1/4=2/2 （3）1/2+1/4=1/8

學生出现错误的原因是不懂算理，不明白加法的本质是相同计算单位相加。此时可以借助画图让学生明白异分母分数加法需要把这两个分数转化成分母相同的分数，分母相同才能相加。抓住计算的根之后学生人人都能正确进行异分母分数加减法，而且能把算理说明白。

三、在分数实际问题解决中寻找“问题”之根

分数实际问题的解决对于学生来说相对比较困难，不少教师教这部分内容时或多或少也存在困惑，如何使课堂教学的效率最大化？不妨从寻找根问题入手。分数实际问题无非就这么几种：求一个数是另一个数的几分之几？求一个数的几分之几是多少？已知一个数的几分之几是多少，求这个数？求一个数比另一个数多（少）几分之几？就拿分数乘法问题来说吧，分数乘法问题可以依据分数乘法的意义指导求解，而分数除法问题也是根据分数乘法的意义来列方程解决。所以掌握好分数乘法的意义是解决分数乘除法问题的前提。为此，教学中应该抓住根问题，建立新旧知识之间的联系，促进学生所学知识的正迁移。比如：小芳做了10朵绸花，其中1/2是红花，红花有多少朵？在解决这个问题的时候先要理解分数1/2的意思，明确此题就是求10的1/2是多少？学生的列式可以用除法10÷2计算，此时把1/2想象成一半，也可以用10×1/2来计算。如果把题目“求10的1/2是多少？”改成“10的2倍是多少？”相信学生第一时间都会列出乘法算式，那么这个1/2和2在题目中是没有实质差异的，唯一的差异就是一个是整数倍，另一个是分数倍。所以“求一个数的几分之几是多少”的根实际上就是低年级学习的“求一个数的几倍是多少？”这样学生原有的认知结构得到了扩展，新旧知识得到了勾连，分数乘法的意义在学生头脑中扎根，为后续学习打下基础。另外“一个数是另一个数的几分之几”的旧知就是“一个数是另一个数的几倍”；“已知一个数的几分之几是多少，求这个数？”是乘法的逆运算，可以用方程来解决；而“求一个数比另一个数多（少）几分之几？”实际就是比多比少，只是多多少，少多少需要抓住单位“1”先进行计算而已。教学时老师帮助学生寻找解决分数实际问题的根源，打通新旧知识之间的联系，一旦新知与旧知的桥梁搭建成功，解决分数应用题就不再是什么困难的事了，学生学习的自信也随之建立。

分数问题学生都能在寻根的过程中找到对应的方法，那么比、百分数等问题也就迎刃而解了，当教学中沟通三者与除法之间的关系后学生会感觉豁然开朗，原来数学并不难，关键要知道这样做的依据是什么，也就是知识的根在哪里。

编辑 杜元元