非平稳色噪声背景下非相关与相干信源数估计算法

陈明建，黄中瑞，龙国庆，韩 旭

(国防科技大学电子对抗学院，合肥 安徽 230037)

0 引言

信源数估计是阵列信号处理的重要内容[1]。典型的信源数估计方法包括基于AIC准则[2]和MDL准则[3-4]的信息论方法。该方法假设噪声为理想高斯白噪声，而实际的噪声模型可能是空间非平稳色噪声，此时该算法性能下降甚至失效。为了解决该问题，近些年来针对色噪声背景下的信源数估计方法相继提出，如盖氏圆盘法(GDE)[5]、K均值法[6]、修正的MDL算法[7]、基于对角加载的特征值校正方法[8]、SORTE法[9]以及基于重采样的Bootstrap法[10]等。但上述算法均假定信源是不相关或者独立的，若空间信源存在一定的相关性或者完全相干时，此时数据协方差矩阵将会出现缺秩，导致算法性能下降甚至失效。

为了解决相干信源数估计问题，学者们提出了很多算法，一般可分为两大类：一类是空间平滑类算法，主要包括前向空间平滑算法[11-12]、前后向空间平滑算法[13-14]以及空间差分平滑算法[15-16]。空间平滑算法是以牺牲有效的阵元来恢复相干信号协方差矩阵的秩，而且无法区分相干和非相干源数目，因此估计最大信源数不超过阵元数目。空间差分平滑算法将阵列协方差矩阵分为Toeplize部分和非Toeplize部分，利用差分运算得只含相干信源的协方差矩阵，提高了算法对信源的过载能力，但文中没有讨论非相关信源数估计问题。另一类是矩阵重构法，包括Toeplize矩阵重构算法[17]、ESPRIT-Like算法等[18]，均是利用矩阵重构方式解相干。但该类方法需要牺牲一半的阵元恢复数据协方差矩阵的秩，估计信源数有限。针对空间非平稳色噪声背景下，传统信源数估计算法性能下降，且估计信源数有限的问题，本文提出了非平稳色噪声背景下非相关与相干信源数估计算法，并通过仿真实验验证了该算法的有效性。

全文中，符号(•)T、(•)*、(•)H和E{•}分别表示转置、共轭、共轭转置和求统计期望，diag{α1,α2,…,αk}代表由对角元素α1,α2,…,αk组成的对角矩阵，blkdiag{Z1,Z2}表示由矩阵Z1,Z2组成的块对角矩阵，

1 信号模型

(1)

其中，a(θ)是均匀线阵阵列导向矢量，可表示为：

a(θ)=[1,μ1,,…,μM-1]T,μ=ejπsin(θ)

(2)

A=[Au,AcΓ]∈M×K为所有信源导向矢量矩阵，Au=[a(θ1),…,a(θKu)]为非相关信源导向矢量矩阵，Ac=[Ac,1,…,Ac,D]为相干信源导向矢量矩阵，Ac,d=[a(θd,Kd),…,a(θd,Kd)]，Γ=blkdiag{ρ1,…,ρD}，ρd=[ρd,1,…,ρd,Kd]T，其中ρd,k表示第d组的第k个相干信号相对于该组第1个信号的衰落系数，相干信号来波方向为M×1维复圆零均值高斯噪声，且与信号不相关，则x(t)的协方差矩阵表示为：

(3)

(4)

2 信源数估计算法

2.1 非相关信源数估计

假定M-1≥Ku+D，若对矩阵R特征分解可得

(5)

式(5)中Us=[u1,…,uKu+D]、Σs=diag{λ1,…,

λKu+D}；Un=[uKu+D+1,…,uM]，Σn=diag{λKu+D+1,

…,λM}；λ1≥λ2…≥λKu+D≥λKu+D+1≥…≥λM。

记M个数据点为(1,λ1)，(2,λ2)，…，(M,λM)，期望通过这M个数据点拟合一条直线。假定直线方程为：

y=ax+b

(6)

则点(xi,yi)到直线的距离为：

(7)

所有观测值到直线的距离平方和可表示为：

(8)

(9)

对于总体最小二乘的特征值拟合误差可表示为：

(10)

式(10)中，ε(k)表示参与拟合的第M-k+1到第M个点到拟合直线的距离平方和。

由线性拟合可知ε(k)为单调递减函数，且ε(1),…,ε(M-Ku-D)两两之间的差别要小于ε(M-Ku-D+1),…,ε(M-1)两两之间的差别。因此可以根据ε(k)的梯度信息估计信源数，即

(11)

当k从小到大时，假定TLS(k)第一次出现负数时为k0，则信源数为k0-1，即为非相关信源个数与相干信号组数之和估计值。

|aH(θ)Un|2=0,θ=θi,i=1,…,Ku

(12)

|(Aiρi)HUn|2=0,i=1,…,D

(13)

2.2 相关信源数估计

假定将均匀线阵划分为相互重叠的p个子阵，其中每个子阵包含有相同的阵元数M-p+1。则第k个子阵的阵列数据协方差矩阵为：

(14)

式(14)中，Fk=[0(M-p+1)×(k-1)IM-p+10(M-p+1)×(p-k)]。

定义：对于M×M维矩阵R，空间差分平滑矩阵为：

(15)

式(15)中，矩阵JM为m×m阶置换矩阵。

命题1：若非相关信源和相干信源同时入射ULA阵列，则Rsd不含有非相关信源信息。

证明：为了简化分析，只需考虑R中的非相关信源RN部分。即等价证明

(16)

(17)

式(17)中，Ω=diag{ejπsin(θ1),…,ejπsin(θKu)}。

由于均匀线阵的导向矢量矩阵A(θ)为范德蒙德矩阵，因此可得

(18)

(19)

由式(19)可知，Dk中不含有非相关信源信息，因此命题1成立。证毕。

命题2：若均匀线阵入射信源含有非相关信源和相干信源，其中有D组共Kc个相干信源，第d(d=1,2…,D)组相干信源包含了Pd个多径信号，若将M元均匀线阵划分为相互重叠的p个子阵，子阵阵元数为M-p+1，若p≥max{K1,…,KD}≜Kmax，且Kc

证明：命题1已证明Rsd不含有非相关信源信息，因此Rsd可以等价表示为：

(20)

其中，

(21)

式(21)中，Ac1=F1Ac，B=blkdiag{γ1,…,γD}，γd=diag{ejπsin(θd,1),…,ejπsin(θd,Kd)}。

将式(21)代入到式(20)中可得

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

式(26)中，

(27)

(28)

当p≥max{K1,…,KD}=Kmax，式(25)可表示为：

(29)

式(29)表明当p≥Kmax,M-p+1>Kc时，Rsd恢复为满秩矩阵，即rank(Rsd)=Kc。证毕。

由命题1、命题2可知，若p满足Kmax≤p≤M-Kc+1，则Rsd只含有相干信源信息且是满秩矩阵。对Rsd特征分解可得

(30)

同理，利用特征值的线性拟合误差可实现相干信源数估计。

综上所述，本文算法基本步骤可归纳如下：

3) 利用式(15)计算空间差分平滑矩阵Rsd；

2.3 最少阵元需求分析

假定有K个窄带信号以平面波入射ULA，其中非相关信源数为Ku，D组相干信源总数为Kc。若要成功分辨所有入射信号，对于前向平滑FSS法、前后向平滑FBSS法、空间差分平滑SDS法需要阵元数至少分别为Ku+Kc+3Pmax/2、Ku+Kc+Pmax/2、max{(Ku+D+1),Pmax/2+Kc+1}，本文算法最少需要阵元数为max{(Ku+D+1),Kc+2}。

由上述分析可知FBSS算法由于采用了前后平滑处理，其阵列需求小于FSS算法，本文算法所需阵元数最少，SDS算法性能次之。

3 仿真实验

本节仿真实验分为两部分。第一部分考察空间非平稳色噪声对非相关信源数估计的影响，主要对比常规MDL算法、文献[7]的GMDL算法、文献[10]Bootstrap算法以及本文算法的性能；第二部分验证一种新的空间差分平滑算法对相干信源数估计有效性，主要对比分析常规的FSS算法、FBSS算法、文献[16]SDS法以及本文算法。

实验1信源数检测概率与SNR关系

考虑阵元数M=10，3个非相关信号和2组4个相干窄带信号同时入射到阵列上，非相关信号DOA分别为[-2° -13° 42°]，相干信号DOA分别为[-14° -5°]，[29° 65°]，噪声的协方差矩阵Q=diag{3.3，2.6，5.2，1.2，4.1，5.0，3.2，6.0，3.0，3.5}。图1、图2分别是非相关信源数、所有信源数的检测概率与SNR关系曲线。

图1 相关信源数检测概率与SNR关系Fig.1 Probability of correct detection for uncorrelated sources versus

由图1可知，在空间非平稳色噪声条件下MDL算法将失效，其他三类算法均能实现信源数有效估计，GMDL算法对MDL算法的似然函数和罚函数均进行了修正，因此提高了算法的性能；Bootstrap算法采用了重采样技术，并结合GDE算法的思想，可以避免对数据分布做出假设，并适用于色噪声模型。本文算法采用特征值总体最小二乘线性拟合，并利用拟合误差的梯度信息，实现了空间非平稳色噪声背景下的信源数估计，本文算法性能要优于其他三类算法，Bootstrap算法次之，GMDL性能介于本文算法与GMDL之间。

图2 所有信源数检测概率与SNR关系Fig.2 Probability of correct detection for uncorrelated and coherent sources versus input SNR

图2是针对非相关和相干信源共存时四类算法信源数估计性能。从图2可知，FBSS算法性能优于FSS算法。在低信噪比时SDS算法空间差分平滑技术能消除部分噪声，相当于提高了SNR，因此性能优于传统的空间平滑算法，但在信噪比大于5 dB时，FBSS性能要优于SDS；而本文算法性能在任意信噪比条件下性能均优于其他三类算法。

实验2角度相近时信源数检测概率与SNR关系

考虑3个非相关信号和2组4个相干窄带信同时入射到阵列上，非相关信号DOA分别为[-2° -13° 42°]，相干信号DOA分别为[-14° -3°]，[29° 43°]。图3、图4分别是非相关信源数、所有信源数的检测概率与SNR关系。

图3 角度相近时非相关信源数检测概率与SNR关系Fig.3 Probability of correct detection for closely spaced and uncorrelated sources versus input SNR

由图3可知，由于非相关信源的来波方向均与相干信源来波方向相近，此时导向矢量矩阵列向量存在相关性，该相关性会影响数据协方差矩阵的特征值分布，Bootstrap算法与本文算法均是利用特征值信息实现信源数估计，因此算法性能均有一定程度下降。而GMDL算法是利用盖世圆半径求解信源数，因此导向矢量的相关性对其性能影响较小。

图4 角度相近时所有信源数检测概率与SNR关系Fig.4 Probability of correct detection for closely spaced all sources versus input SNR

由图4可知：传统FSS、FBSS算法通过空间平滑后数据协方差矩阵仍然可能是缺秩，因此无法正确分辨角度相近的信源，而本文算法和SDS通过空间差分平滑，将非相关信源与相干信源分开检测，因此信源数检测性能不受角度间隔的影响。

实验3信源数超过阵元数时检测概率与SNR关系

假定M=8，阵列噪声协方差矩阵Q=diag{10.0

2.0 1.5 2.5 5.0 1.0 1.5 3.0}。共有10个远场窄带信号，其中4个非相关信号DOA分别为[-40° -20° -10° 0°]，2组6个相干信号DOA分别为[-30° -10° 5°]，[20° 40° 60°]，其他仿真参数同实验3。图5是信源数超过阵元数时检测概率与SNR关系。

图5 信源数超过阵元数时检测概率与SNR关系Fig.5 Probability of correct detection versus input SNR when the number of signals is more than the number of array element

当Ku=4，Kc=6，D=2，Pmax=3时FSS、FBSS、SDS以及本文算法最少需要的阵元数分别为12，9，8，9。因此理论上FSS、FBSS、SDS算法均失效，只有本文算法能够有效检测10个入射信号，图5的仿真结果与理论分析相一致。

实验4空间非平稳色噪声背景下算法检测概率与WNPR关系

由图6可知，MDL算法基本失效， GMDL算法、Bootstrap算法的检测概率均随着WNPR增大逐渐降低。只有本文算法对WNPR变化不敏感，即使在低SNR、高WNPR检测概率接近1，因此本文方法对空间非平稳色噪声具有一定的稳健性。

图6 SNR为0 dB检测概率与WNPR关系Fig.6 Probability of correct detection versus WNPR for SNR=0 dB

4 结论

本文提出了非平稳色噪声背景下非相关与相干信源数估计算法，该算法利用协方差矩阵特征值的总体最小二乘线性拟合，实现了非相关信源估计；然后通过空间差分平滑技术，剔除非相关信源和非平稳空间色噪声的影响；最后利用线性拟合算法实现相干信源数估计。仿真结果表明，该算法在空间非平稳色噪声背景下能实现非相关与相干信源数的有效估计，检测信源数可以超过阵元数，尤其对于角度相近的信源，估计性能要优于其他类信源数估计算法。