基于一阶差分修正指数曲线法的GPS卫星钟差预报

于 烨，张慧君，李孝辉

(1.中国科学院国家授时中心，陕西 西安 710600;2.中国科学院精密导航定位与定时技术重点实验室，陕西 西安 710600;3.中国科学院大学，北京 100049;4.中国科学院大学天文与空间科学学院，北京 100049)

0 引言

卫星导航系统中星载原子钟的钟差预报在满足实时动态精密单点定位的需求和提供卫星自主导航所需的先验信息方面具有重要意义[1-3]。

首先，在动态精密单点定位中，为了获得高准确度的定位结果，需采用预报钟差参数参与计算；其次，在卫星自主导航中，要求地面预报长期的钟差作为先验信息，以在没有地面站支撑的条件下，导航卫星自主完成轨道确定和广播星历播发，所以提高卫星钟差的预报精度一直是国内外卫星导航定位研究的热点之一[4-9]。但是，由于星载原子钟非常敏感，极易受到外界和自身因素的影响而很难掌握其复杂细致的变化规律。因此，建立精确的原子钟运行模型非常困难，相应地准确预报卫星钟差也非常困难。为此多种钟差预报模型相继发展，如:二次多项式模型(Quadratic Polynomial Model, QPM)、修正指数曲线法(Modified Exponential Curve Method, MECM)等[10-12]。这些方法分别适用于不同条件下导航卫星原子钟钟差的短期、中期和长期预报，但它们均有各自的适用范围和局限性。例如：二次多项式模型它是以时间为变量，用历史钟差数据进行拟合确定各项系数，进而对钟差作外推预报，其缺点是预报误差会随时间的推移而不断地增加；修正指数曲线法模型可以使用较少的历史钟差数据进行建模预报，但是该模型要求钟差数据呈指数变化规律限定了其使用范围，且建模数据的复杂性对模型的预报性能有较大影响等[13-15]。针对二次多项式模型和修正指数曲线法模型在预报GPS卫星钟差时精度的不足，本文提出基于一阶差分修正指数曲线法的GPS卫星钟差预报模型。

1 修正指数曲线法预报模型

修正指数曲线法预报模型描述的是在一段时间内按指数曲线增长，随着时间的推移，增长趋势会减缓[16]。设观测序列为：y1,y2,…,yn，所对应的时刻为：t1,t2,…,tn。可建立修正指数曲线法模型如下：

y(t)=K+abt

(1)

式(1)中，这三个模型参数K,a,b均需要采用历史数据来确定。修正指数曲线法钟差预报模型建立过程主要有三个步骤：

1) 数据预处理。如果原始钟差序列中存在异常数据，则需要采用拉格朗日插值法把缺失的钟差数据补齐。

3) 利用已建好的修正指数曲线法预报模型进行钟差预报。

2 一阶差分修正指数曲线法的预报模型

由于同一颗GPS卫星的钟差数据序列相邻历元的钟差数据在数值上相差并不大，将其相邻历元的钟差数据作一阶差分处理，可以得到有效数字位数更少的一组钟差差值数据序列。然后，基于一阶差分的钟差差值数据序列建立预报模型。这样处理，可以降低建模时数据结构的复杂性，从而进一步提高了模型的预报性能。

设原始钟差数据序列为：

Y(0)={y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}

(2)

将其相邻历元的钟差数据作一阶差分处理，得到一组差值数据序列：

ΔY(1)={Δy(1)(1),Δy(1)(2),…Δy(1)(i)…,

Δy(1)(n-1)}

(3)

式(3)中：Δy(1)(i)=y(1)(i+1)-y(1)(i),i=1,2,…,n-1。

对以上得到的钟差差值数据序列(3)，可以建立修正指数曲线模型如下：

Δy(1)(t)=K+abt

(4)

式(4)中，三个参数K,a,b均需要采用历史钟差数据来确定。由于这里的K值不能预先确定，则采用“三和法”来估计模型参数K,a,b。“三和法”参数估计的基本步骤可归结为如下的过程：

把n个钟差数据观测值等分为三部分，每个部分有m个，即n=3m。具体划分如下：

(5)

令每部分的趋势值之和等于相应的观测值之和。

(6)

式(6)中，Si(i=1,2,3)表示钟差数据观测值的各部分之和，且

(7)

由式(7)可得：

(8)

将式(8)代入式(3)，即可得到如下的预报模型：

(9)

利用该模型即可预报出未来任意时刻一阶差分的差值钟差数据序列。最后，通过将一阶差分预报序列和相应的钟差值对应叠加即可得到所求历元的钟差预报值。

设预报的钟差序列长度为m，即可得到钟差预报的最终表达式，如式(10)所示。具体的预报流程如图1所示。

1≤i≤m;m,j∈N+

(10)

图1 基于一阶差分修正指数曲线法的卫星钟差预报过程Fig.1 Satellite clock bias prediction process based on first-order difference modified exponential curve method

3 试验与分析

3.1 数据来源

从IGS服务器(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov)上

下载了2017年3月5日至6日共两天的IGS精密钟差数据，其采样间隔为15 min。考虑到目前在轨的GPS卫星有30几颗且我国北斗二代系统均搭载的是铷原子钟，所以我们选3颗装载铷原子钟的卫星进行预报试验。本算例随机选取了1颗GPS Block IIF-M型卫星G17、1颗GPS Block IIF型卫星G03和1颗GPS Block IIR型卫星G16的钟差数据进行预报试验。

3.2 建模方案

1) 方案一：用10 h数据建模后预报

选用二次多项式模型(QPM)、修正指数曲线法(MECM)和基于一阶差分修正指数曲线法(D-MECM)，用10 h的数据建模，分别对未来6 h、12 h、18 h和24 h的卫星钟差进行预报。

2) 方案二：用12 h数据建模后预报

选用二次多项式模型(QPM)、修正指数曲线法(MECM)和基于一阶差分修正指数曲线法(D-MECM)，用12 h的数据建模，分别对未来6 h、12 h、18 h和24 h的卫星钟差进行预报。

3.3 预报结果与分析

采用方案一对G17号卫星钟差数据进行建模及预报结果如图2、图3和表1所示。其中图2分别为用10 h数据建立模型预报未来6 h、12 h、18 h和24 h钟差数据的预报误差变化图，图3分别为用12 h数据建立模型预报未来6 h、12 h、18 h和24 h钟差数据的预报误差变化图。同理，采用方案一和方案二对G03、G16号卫星钟差数据进行建模后预报结果如表1所示。限于篇幅，采用方案一、方案二对G03、G16号卫星钟差数据进行建模后的预报误差变化图不再一一展示。

由于本试验使用的是IGS服务器上公布的精密钟差数据，其自身的误差小于0.1 ns，故可以作为“真值”，使用均方根误差(RMS)作为统计量，去检验二次多项式模型、修正指数曲线法预报模型和基于一阶差分修正指数曲线法预报模型所预报结果的好坏程度。其数值结果见表1。

图2 PRN17用10 h数据建模预报Fig.2 PRN17 prediction error of with 10 h data modeling

图3 PRN17用12 h数据建模预报Fig.3 PRN17 prediction error of with 12 h data modeling

单位：ns

图4 方案1和方案2钟差平均预报精度比较Fig.4 Mean accuracy comparisons of clock bias prediction for scheme 1 and scheme 2

结合图2—图4和分析表1可知：

1) 采用小数据量建模对GPS卫星钟差进行6 h预报时，二次多项式模型预报误差的平均均方根为0.89 ns，修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为1.75 ns，而基于一阶差分修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为0.52 ns。进行12 h预报时，二次多项式模型预报误差的平均均方根为2.18 ns，修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为4.25 ns，而基于一阶差分修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为0.67 ns。进行18 h预报时，二次多项式模型预报误差的平均均方根为4.00 ns，修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为7.56 ns，而基于一阶差分修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为0.85 ns。进行24 h预报时，二次多项式模型预报误差的平均均方根为6.58 ns，修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为11.91 ns，而基于一阶差分修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为0.95 ns。

2) 采用中等数据量建模对GPS卫星钟差进行6 h预报时，二次多项式模型预报误差的平均均方根为1.01 ns，修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为0.87 ns，而基于一阶差分修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为0.53 ns。进行12 h预报时，二次多项式模型预报误差的平均均方根为2.08 ns，修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为1.77 ns，而基于一阶差分修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为0.70 ns。进行18 h预报时，二次多项式模型预报误差的平均均方根为3.79 ns，修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为3.19 ns，而基于一阶差分修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为0.78 ns。进行24 h预报时，二次多项式模型预报误差的平均均方根为5.96 ns，修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为5.00 ns，而基于一阶差分修正指数曲线法模型预报误差的平均均方根为0.93 ns。

3) 建模所采用的数据量对二次多项式模型的预报性能有一定影响，建模所采用的数据量越大，二次多项式模型的预报性能有一定提升。建模所采用的数据量对修正指数曲线法模型的预报效果有较大影响，建模所采用的数据量越大，修正指数曲线法的预报效果得到显著提升。而建模所采用的数据量对基于一阶差分修正指数曲线法模型的预报效果影响较小，当增加一定量的建模数据时，基于一阶差分修正指数曲线法模型的预报性能变化很小，依然能够进行高精度的中短期预报。

4 结论

本文提出了基于一阶差分修正指数曲线法的卫星钟差预报模型。该模型先对原始钟差数据序列相邻历元作一阶差分处理后，以得到有效数字位数更少的一组钟差差值数据序列；然后，基于一阶差分的钟差差值数据序列建立了GPS卫星钟差预报模型。这样处理可以降低建模时数据结构的复杂性，从而进一步提高了模型的预报性能。经试验结果与分析表明，该模型较二次多项式预报模型和修正指数曲线法预报模型的预报效果较好，中短期的预报精度均在1 ns以内且只需要采用较少的钟差数据进行建模即可达到高精度的中短期预报，为GPS卫星高精度的中短期预报提供了一种新的思路。但该模型仍然没有克服误差累积的现象，所以还需要进一步研究如何实现长期高精度的卫星钟差预报。