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η凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分的Hermite-Hadamard型不等式

2018-09-10时统业曾志红曹俊飞

浙江大学学报(理学版) 2018年5期
关键词:将式定理区间

时统业,曾志红,曹俊飞

(1. 海军指挥学院, 江苏 南京 211800; 2. 广东第二师范学院 学报编辑部, 广东 广州 510303;3. 广东第二师范学院 数学系, 广东 广州 510303)

0 引 言

若f是区间[a,b]上的凸函数,则对f在区间[a,b]上的算术平均值有以下估计:

(1)

双边不等式(1)被称为Hermite-Hadamard不等式.关于Hermite-Hadamard不等式的各种改进、加细和推广,可参见文献[1-9].

最近,作为通常凸函数的推广,文献[10]引入了η凸函数的概念.

定义1[10]设区间I⊆R,二元函数η:R×R→R,f:I→R,若对任意x,y∈I,t∈[0,1],有

f(tx+(1-t)y)≤f(y)+tη(f(x),f(y)),

则称f是区间I上的η凸函数.

当η(x,y)=x-y时,η凸函数即为通常的凸函数.

定理1[11](η凸函数的Hermite-Hadamard型不等式) 若f: [a,b]→R是η凸函数,η在f([a,b])×f([a,b])上有上界Mη,则有

近年来,国内外研究者利用分数阶积分建立了分数阶的Hermite-Hadamard型不等式[12-18].

定义2设α>0,f在[a,b]上勒贝格可积,则函数f的α阶左Riemann-Liouville分数阶积分和α阶右Riemann-Liouville分数阶积分分别定义为

其中Γ(α)是Gamma函数,即

方便起见,在下文的引理和定理中均假设

p∈(0,1),ξ=pa+(1-p)b,

并且记

定理3[19](η凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式) 若f: [a,b]→R是η凸函数,η在f([a,b])×f([a,b])上有上界Mη,α>0,则有

(2)

引理1[13]设f: [a,b]→R在(a,b)可微,f′在[a,b]上勒贝格可积,α>0,则有

利用引理1,由文献[19]可得η凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.

定理4[19]设f: [a,b]→R在(a,b)可微,|f′|是[a,b]上的η凸函数,α>0,则有

当η(x,y)=x-y,即当|f′|是[a,b]上的凸函数时,由定理4得到文献[13]中凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.

引理2[14]设f: [a,b]→R在(a,b)可微,f′在[a,b]上勒贝格可积,α>0,则有

其中,

应用引理2,由文献[19]可得到η凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.

定理5[19]设f: [a,b]→R在(a,b)可微,|f′|是[a,b]上的η凸函数,0<α≤1,则有

η(|f′(a)|,|f′(b)|)+η(|f′(b)|,|f′(a)|)].

(3)

由引理2并利用积分变量代换,有

可得到以下引理:

引理3设f: [a,b]→R在(a,b)可微,f′在[a,b]上勒贝格可积,α>0,则有

[f′((1-t)a+tb)-f′(ta+(1-t)b)]dt.

目前,国内研究η凸函数的文献并不多[20-21].本文建立了新的η凸函数Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.对定理3和定理5的结果进行了一定改进.对由凸函数分数阶的Hermite-Hadamard型不等式的右边部分生成的差值,给出了不同于定理4的估计.为证明主要结论,除引理1和引理3外,还需要引理4和引理5,此两引理用分部积分法易证之.

引理4设f: [a,b]→R在(a,b)可微,f′在[a,b]上勒贝格可积,α>0,则有

引理5设f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒贝格可积,α>0,则有

pf(a)+(1-p)f(b)-K2=

1 主要结果及证明

定理6若f: [a,b]→R是η凸函数,η在f([a,b])×f([a,b])上有上界Mη,α>0,则有

(4)

(5)

(6)

[η(f(a),f(b))+η(f(b),f(a))],

(7)

由η凸函数的定义,有

(8)

将式(8)乘以(x-a)α-1+(b-x)α-1,然后在[a,b]上对x积分,得

η(f(a+b-x),f(x))dx,

(9)

注2在定理6中,取η(x,y)=x-y,则得到凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶不等式[13]:

文献[3]利用积分给出了凸函数的Jensen不等式的隔离,受此启发,给出以下定理:

定理7若f: [a,b]→R是η凸函数,α>0,则有

[η(f(a),f(b))+η(f(b),f(a))],

(10)

其中,

f1(x)=η(f(b-p(x-a)),f(pa+(1-p)x)),

f2(x)=η(f(a+(1-p)(b-x)),f(px+(1-p)b)).

证明将式(5)乘以(ξ-x)α-1,然后在[a,ξ]上对x积分,得

(11)

将式(6)乘以(x-ξ)α-1,然后在[ξ,b]上对x积分,得

(12)

f(ξ)≤f(x)+(1-p)η(f(y),f(x)),

(13)

将式(13)乘以(ξ-x)α-1,然后在[a,ξ]上对x积分,得

(14)

f(ξ)≤f(x)+pη(f(y′),f(x)),

(15)

将式(15)乘以(x-ξ)α-1,然后在[ξ,b]上对x积分,得

(16)

推论1若f: [a,b]→R是η凸函数,η在f([a,b])×f([a,b])上有上界Mη,α>0,则有

f(ξ)-2p(1-p)Mη≤K2≤

定理8设f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒贝格可积,|f′|是[a,b]上的η凸函数,α>0,则有

(17)

证明由引理1得

(18)

由|f′|的η凸性,得

|f′(ta+(1-t)b)|≤

|f′(a)|+(1-t)η(|f′(b)|,|f′(a)|),

(19)

|f′(ta+(1-t)b)|≤

|f′(b)|+tη(|f′(a)|,|f′(b)|),

(20)

(21)

综合式(18)和(21),则式(17)获证.

注3在定理8中,若η(x,y)=x-y,即|f′|是[a,b]上的凸函数,则可得文献[13]的凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式.

定理9设f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒贝格可积,|f′|是[a,b]上的η凸函数,0<α≤1,则有

(22)

证明由引理3得

[|f′((1-t)a+tb)|+|f′(ta+(1-t)b)|]dt.

(23)

由|f′|的η凸性得

|f′((1-t)a+tb)|≤

|f′(a)|+tη(|f′(b)|,|f′(a)|),

|f′((1-t)a+tb)|≤

|f′(b)|+(1-t)η(|f′(a)|,|f′(b)|),

|f′(ta+(1-t)b)|≤

|f′(a)|+(1-t)η(|f′(b)|,|f′(a)|),

|f′(ta+(1-t)b)|≤|f′(b)|+tη(|f′(a)|,|f′(b)|),

将上面4个式子相加并除以2得

|f′((1-t)a+tb)|+|f′(ta+(1-t)b)|≤

η(|f′(b)|,|f′(a)|)).

(24)

综合式(23)和(24),则式(22)得证.

定理10设f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒贝格可积,|f′|是[a,b]上的η凸函数,α>0,则有

(25)

证明由引理4得

(26)

由|f′|的η凸性得

(27)

η(|f′(b)|,|f′(a)|)]dt=

(28)

综合式(26)~式(28),则式(25)得证.

注5在定理10中,若η(x,y)=x-y,也即|f′|是[a,b]上的凸函数,则有

{[α+1+2(α+3)p]|f′(a)|+

[3α+7-2(α+3)p]|f′(b)|}.

定理11设f: [a,b]→R在(a,b)上可微,f′在[a,b]上勒贝格可积,|f′|是[a,b]上的η凸函数,α>0,则有

证明利用类似于引理5及定理9的证明方法可证得定理11,此证略.

推论2若f: [a,b]→R是η凸函数,f′在[a,b]上勒贝格可积,|f′|是[a,b]上的η凸函数,α>0,则有

[η(|f′(a)|,|f′(b)|)+η(|f′(b)|,|f′(a)|)].

注6在定理11中,若η(x,y)=x-y,也即|f′|是[a,b]上的凸函数,则有

|pf(a)+(1-p)f(b)-K2|≤

2 结束语

建立了η凸函数的一些积分不等式,推广了通常凸函数的相应结果. 寻找积分隔离η凸函数的Jensen型不等式,以及利用导函数的η凸性进行误差估计,均仿照了通常凸函数的研究方法. 能对已有结果做些改进,得益于证明技巧的提升,包括分别在不同区间上对2个不等式积分,以及利用变量代换改变积分区间. 有关凸函数的其他结果在η凸函数上的移植尚待进一步研究.

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