具有可选服务和负顾客的M/G/1/N可修排队系统

高显彩，单雪红

(宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000)

0 引言

许多学者都对负顾客排队模型都作了大量研究[1]-[4].文[5]研究了带负顾客的M/G/1重试可修排队系统，文[6]研究了具有优先权的M/G/1重试可修排队系统，文[7]研究了有可选到达、服务台可修的M/G/1重试可修排队系统.本文在此基础上研究具有可选服务和负顾客的M/G/1/N可修排队系统，利用补充变量法和状态转移分析模型,得到了瞬态队长分布及稳态队长分布的相关排队指标.

1 模型描述

(2)系统容量有限.若N个服务台全部工作时，则刚到的正顾客就会离去；若有空闲的服务台，则刚到的正顾客进入系统等待服务.如果服务台发生故障，需修理，顾客或等待服务台修理好后继续接受服务，或自动离开，服务台修好后正常工作.

2 系统状态及其概率定义

设N(t)为t时刻系统中的正顾客数， {N(t)|t≥0}不是Markov过程.引入补充变量X1,2(t)，表示正顾客在t时刻已接受的必选服务和可选服务的时间.

则{N(t),S(t),I(t),X1,2(t)|t≥0}是马尔可夫过程.

定义P(k,j,i,t)=P{N(t)=k,S(t)=j,I(t)=i}(k=0,1,2,…N;j=0,1,2;i=0,1)

P(k,j,i,x,t)dx=P{N(t)=k,S(t)=j,I(t)=i,x

3 建立模型方程与求解

初始条件：假定开始时系统处于空闲状态，且有P(0,0,1,0)=1

通过分析得偏微分方程组：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

边界条件：

(7)

(8)

(9)

(10)

对(1)～(10) 式取L变换并解方程组得到：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

定理1 瞬态队长分布的L-Z变换

(20)

定理2 稳态队长分布的广义概率母函数

(21)

证明：由L变换的终值定理和式(20)得：

4 结论

本文研究具有可选服务和负顾客的M/G/1/N可修排队系统，利用补充变量法、状态转移分析法，得到了瞬态队长分布的L-Z变换、稳态队长分布的概率母函数.