构造辅助数列证明不等式

张建新

【内容摘要】數列不等式证明的方法灵活多变，学生往往无从下手，本文主要探究利用构造辅助数列方法证明数列不等式的技巧，解题中我们要根据题情特征，机智巧妙地选择证法，灵活变通，巧妙构造，达到出奇制胜的效果。

【关键词】构造数列不等式

构造法就是通过类比联想，适当变形，改造变通等技法，组装成有利于解决问题的新方法，因此数学中的“构造”既不神秘，也不是难以捉摸，而是目的性和方向性很强，有章可循，有法可依的一种操作性技能技巧。

本文就“构造辅助数列”证明不等式展开探索研究，归纳总结出一般规律，从而消除大家对构造的神秘感、陌生感和畏惧感。

一、神奇类比，巧妙构造

“类比”就是一种“相似”，她是从一种特列到另一种特列的推理。类比不是瞎猜、乱猜，而是以已存储知识为基础，以直觉为先导，以思维为核心地类比，巧妙的构造，达到证明问题的目的。

例1.已知数列{an}，{bn}的每一项都是正数，a1=4， b1=8，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列 （n∈N*）

（Ⅰ）求a2，b2；

（Ⅱ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅲ）证明：对一切正整数n，都有1a1-1+1a2-1+…1an-1<23.

分析：

（Ⅰ）a2=12，b2=18；

（Ⅱ）an=2n（n+1），bn=2（n+1）2；

（Ⅲ）1an-1=12n（n+1）-1，由不等式结构可知左边无法求和，也就不能直接证明不等式，我们只能提取已经存储的基础知识，展开类比联想进行探究。

思路：看到不等式的通项是关于自然数n的一个二次式，我们想到在数列单元课本上有一个数列{1n（n+1）}，其和进行放缩可得不等式Sn=1-1n+1<1，这个数列学生非常熟悉，应用的也比较熟练。因此，引导学生观察不等式的结构特征是左边和之小于23，于是类比联想构造数列{231n（n+1）}，只需证得1an-1=12n（n+1）-1≤231n（n+1）成立，就突破了此题的难点。

证明：要证1an-1=12n（n+1）-1≤231n（n+1）成立，只需证4n（n+1）-2≥3n（n+1），

只需证n2+n-2≥0，只需证（n-1）（n+2）≥0恒成立。

所以1an-1=12n（n+1）-1≤231n（n+1）=23（1n-1n+1）

所以1a1-1+1a2-1+…1an-1≤23（1-12+12-13+…1n-1n+1）=23（1-1n+1）<23

评注： 通过两个例题的构造法探究，我们得到类比联想构造离不开扎实的基础和良好的数学素养。在解决问题时多从自己熟悉的知识入手，大胆尝试构造，只要结构中出现“二次式”或 “指数式”，就可展开丰富的类比想象，提取熟悉的数列知识，巧夺天工的构造将会收到神奇的效果。

二、适当变形，和谐构造

任何方法都不是万能的，当类比构造法难以奏效时，应考虑将不等式进行适当变形，然后再构造辅助数列。当然这种变形不是盲目的无的放矢，而是根据题情与需要制定出明确的目标，让其充分发挥导航的作用。

例2.已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）·3n

（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：a112+a222+…ann2>3n

分析：

（Ⅰ） an=2n（n+2）·3n-1；（Ⅱ）观察发现此不等式在n=1，n=2，…时都成立，那么我们可以分别将左右两边看为两个数列的和，只要得到两个数列通项满足不等关系，则这两个数列的和也就满足这个不等关系。由此可以用上述思路构造两个辅助数列证明。

证明：设数列{bn}，{cn}的和分别为Bn，Cn，且Bn=a112+a222+…ann2，Cn=3n

∴n=1时，b1=B1=6，c1=C1=3，∴b1>c1；

当n≥2时bn=Bn-Bn-1=ann2=2（n+2）·3n-1n， cn=Cn-Cn-1=2·3n-1

∵n+2n>1，∴bn>cn

综上所述：（n∈N+），bn>cn，所以Bn>Cn。

即：a112+a222+…ann2>3n

以上用“构造辅助数列”证明不等式的两类方法，上述各法指向性十分明确。面对不同的题情特征，要机智巧妙地选择证法，灵活变通，巧妙构造，既达到了知识升华能力提升的要求，也达到了思想境界的升华的目的。

【参考文献】

[1] 张毅. 神奇的类比 巧妙地构造[J]. 中学数学教学参考月刊， 2011（4）：33-34.

[2]黄元华. 构造辅助函数证明不等式[J]. 中学数学教学参考月刊， 2011（7）：34-35.

[3]陈云烽. 例说数列不等式的证明与探索（续）[J]. 中学数学教学参考月刊， 2011（12）：25-27.

（作者单位：甘肃省张掖市临泽县第一中学）