用动态圆巧解带电粒子在磁场中运动的临界问题

吴苗军

[摘 要]带电粒子在匀强磁场中的运动问题是高考常考问题，而其中的临界问题更是难点。如果能够将轨迹圆进行缩放、平移、旋转，这样就可以化动为静，让动态的运动轨迹呈现出来，就能消除学生解决问题上的思维、方法障碍，突破解决带电粒子在匀强磁场中运动问题的难点。

[关键词]旋转圆；缩放圆；平移圆；临界问题

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0060-02

带电粒子在匀强磁场中的运动问题是高考常考问题，而其中的临界问题更是难点。处理带电粒子在匀强磁场中的运动问题时，需要画出带电粒子的运动轨迹，找到其圆心，然后再找出几何关系。当带电粒子以一定的速度射入匀强磁场时，带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，带电粒子的轨迹都是圆或圆弧，如果带电粒子的速度大小或者磁感应强度大小变化，那么圆的半径也将随之改变。如果能够将轨迹圆进行缩放、平移、旋转，就可以化动为静，让动态的运动轨迹呈现出来，就能消除学生解决问题的思维、方法障碍，突破带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题分析解答这个难点。接下来通过三道例题说明动态圆的运用。

一、缩放圆

【例1】 在真空中有宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，其方向如图1，带电粒子（质量为m，带电量为-q）以与CD成θ角的速度v0垂直射入匀强磁场中。要使带电粒子能从EF射出，那么初速度v0满足什么条件？EF上有粒子射出的范围是多少？

分析：如图2甲所示，当入射速度比较小时，带电粒子在磁场中运动一段圆弧之后从同一侧射出。由粒子在磁场中运动的轨迹圆的半径公式可得：带电粒子的速率越大，其轨道半径也就越大，即当带电粒子入射速度不断变大时，其运动的轨迹圆不断变大，直到其轨迹与右边界相切，这时带电粒子恰好不能从右侧射出，当带电粒子的速率大于这个临界值时便从右侧射出，根据缩放圆的特点可以画出带电粒子的临界轨迹，再根据几何知识计算速度的临界值。EF上有粒子射出的区域，只要找出上下边界，简单计算就可以得到。带电粒子从A点射入磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，要使带电粒子从EF射出，那么它的临界轨迹肯定过点A，并且与EF相切，轨迹如图2乙所示，再进一步作出A、P点速度的垂线相交于O，就可以确定该临界轨迹的圆心。

通过简单计算即可得带电粒子的初速度v0应满足条件v0[ ≥qBdm+mcosθ]，EF上有带电粒子射出的区域为[PG=dsinθ1+cosθ+dcotθ]。

方法总结：如果带电粒子入射匀强磁场的方向一定，而速度大小变化，那么带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心必定出现在从入射点出发并沿着洛伦兹力方向的射线上，但是半径的大小是不确定，这样就可以用圆规画出一些大小不同的轨迹圆，即缩放圆（如图3所示），接下来从缩放圆的动态变化中就能快速找到临界点。带电粒子做匀速圆周运动的半径是随着速度大小变化而变化的，那么可以将带电粒子的运动半径进行放缩，运用缩放圆来画出临界点的运动轨迹，从而分析带电粒子在匀强磁场中的临界问题，寻找解题条件。对于这类临界问题，关键是找到临界轨迹和临界半径。

二、平移圆

【例2】 如图4所示，以ab为边界，存在两个匀强磁场，其磁感应强度分别为B1=2B，B2=B，现有带电粒子（质量为m、带电荷量为+q）从O点以初速度v沿垂直于ab方向射入磁感应强度B1的磁场。在图中作出带电粒子的运动轨迹，并求出带电粒子发射后第7次通过直线ab时所经历的时间、路程及离开点O的距离。（注：带电粒子重力不计）

分析：设带电粒子（质量为m、带电荷量为+q）在匀强磁场B1和B2中，做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，即[r1=mvqB1]，[r2=mvqB2]。由题意可知B1=2B2，则r1∶r2=1∶2，根据左手定则可知，带电粒子在匀强磁场B1中转动方向是逆时针，在磁场B2中转动方向也是逆时针的，运动轨迹如图5所示。根据几何关系可得，带电粒子在第7次通过直线ab时，带电粒子在上面的磁场B1中时，将轨迹圆进行平移，得到四个小半圆；带电粒子在下面的磁场B2中时，可以将轨迹圆进行平移，得到三个大半圆。

经过简单计算可得：经历的时间为：[t=2T1+32T2=2×2πm2qB+32×2πmqB=5πmqB]，离开O点的距离为：[x=4r1=4×mv2qB=2mvqB]，经历的路程为：[s=2×2πr1+32×2πr2=5πmvqB]。

方法总结：如果带电粒子在两个或者两个以上并列的匀强磁场中运动，那么带电粒子从其中一个匀强磁场射入另外一个匀强磁场之后，如果此时将磁场方向变为与原来磁场方向相反，那么根据左手定则可得，带电粒子的转动方向也将随之相反，带电粒子的运动轨迹肯定会在交界处外切，这样的运动轨迹可以被看作是圆的平移所得，如图6甲所示；如果磁感应强度大小变化，根据洛伦兹力提供向心力的公式可得带电粒子的运动半径也改变，这时需要结合缩放圆来求解，这样的运动轨迹肯定在交界处内切，运动轨迹可以看作是两个半径不同的圆进行交替平移所得，如图6乙所示。还有另一类是带电粒子的发射速度大小、方向不变，但是入射点沿一直线移动，轨迹圆将会平移，但是轨迹圆的圆心必定在同一直线上，如图6丙所示，那么这类问题我们就可以用圆轨道平移的等距特点来解决。

三、旋转圆

【例3】 如图7所示，圆形区域存在垂直纸面的匀强磁场，其磁感应强度为B，A是匀强磁场边界上的最低点，现有大量速度大小为v的带电粒子（质量为m，带电量为q）从A点射入匀强磁场，带电粒子的射入方向为平行于纸面向各个方向，并且这些带电粒子从右边界圆弧AC上离开匀强磁场，其中有带电粒子从C点射出。已知AC圆弧的弧长刚好是圆周长的1/3。

求：（1）圆形磁场区域的半径R；

（2）粒子在磁场中运动轨迹的最大长度。

分析：带电粒子以相同的速度大小从A点进入圆形匀强磁场，即入射的带电粒子的轨迹圆是一样大的，而且带电粒子的运动半径小于或等于磁场区域的半径，带电粒子的轨迹圆是绕着A点旋转的，这就不难看出离入射点最远距离便是带电粒子轨迹圆的直径，接下来根据洛伦兹力提供向心力的半径公式和几何关系，就可以算出匀强磁场的半径R；带电粒子的运动半径小于磁场区域的半径，因此带电粒子运动轨迹的最大长度正好为整圆的圆周，利用周长公式，就可以计算出带电粒子在匀强磁场中运动轨迹的最大长度。根据以上分析可得：[R=23mv3Bq]，[l=2πmvBq]。

方法总结：旋转圆的共同特点是带电粒子匀速圆周运动的圆心在以带电粒子的入射点为圆心、以带电粒子的运动轨道半径为半径的圆上（如图8所示），这样就可以顺利找出动态圆圆心的轨迹，特别要关注各圆的绕向。射入匀强磁场的带电粒子的轨迹圆大小是一样的，因此可以借用一元硬币等工具，绕着入射匀强磁场的点转动，从半径一定的圆的動态转动过程中，就很容易找到临界轨迹、临界半径以及临界点，让学生找到解决这类临界问题的方法。

通过圆的缩放、平移和旋转，用圆规画大小不同的圆，用硬币旋转等方法，就可以将动态轨迹呈现出来，准确地找到带电粒子做匀速圆周运动轨迹的圆心，从而画出带电粒子的运动轨迹（如图9所示），顺利找出几何关系。通过动态圆的方法，能快速找到临界轨迹、临界半径以及临界点，接下来的求解那就水到渠成了。

（责任编辑 易志毅）