从两道高考真题剖析透视数学问题的本质

刘军

[摘 要] 以2016年高考理科全国卷Ⅱ和卷Ⅲ的两道有关排列组合问题的高考真题为例，通过剖析、解答找到了问题的本质.原来这两个排列组合考点的试题同根同源，是一个复杂数学问题的两个特例. 这样的高考命题将会进一步培養学生的思维能力，提高解题技巧.

[关键词] 高考真题；案例剖析；揭示本质；培养思维；提高技巧

评注：至此，我们给出了这个问题的完整解答.如果我们继续向上追问，就会发现此题的背景其实是组合数学中的“卡特兰数”（“卡特兰数”源于比利时数学家卡特兰在研究凸n+2边形的剖分时得到的数列Cn，在组合数学、信息学、计算机编程等方面都有广泛的应用；卡特兰问题的解决过程大量应用了映射方法，堪称计数的映射方法的典范），这就找到了问题的本质.从而也更加佩服高考命题人的良苦用心，原来2016年这两个排列组合题都同根同源，可以看成是一个复杂数学问题的两个特例. 这样的命题对活跃学生思维，提高解题能力给予了很好的导向.