将军饮马问题的多维度应用与拓展

许光英

[摘 要] 文章从“将军饮马问题”的背景、本质、应用与拓展三个方面来展开分析，探讨了在二维圆锥曲线最值问题中的应用与拓展、在三维立体图形中涉及对称直线和对称面的最值问题的应用与拓展以及在一维直线上关于绝对值最值的探讨.

[关键词] 将军饮马问题；轴对称变换；三角形三边关系；距离和的最小值；三点共线

数学历史名题是在数学发展历史长河中形成，并对数学发展、数学应用和数学教学等方面起过或仍起着重要作用的数学问题（单墫）. 对数学名题的学习，有利于我们了解数学的发展和理解数学思想方法的形成，开阔数学的视野，有助于数学的教和学.

将军饮马问题的背景

将军饮马问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦. 一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次.将军问怎样走路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传.

解决方法：

如图1所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上取A关于河岸的对称点A′，连结A′B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，走的路程就是最短的.

“将军饮马”问题中利用“轴对称变换”化折为直，将该问题转化为“两点间线段最短”.

将军饮马问题的本质：

模型一：“饮马问题”可归结为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”的问题.

如图2所示：已知A、B在直线L同侧（或异侧），在直線L上求一点P，使得PA+PB最小.

A、B在直线L同侧时，点P为线段A′B与直线L的交点（A′是点A关于直线L的对称点）； A、B在直线L异侧时，点P为线段AB与直线L的交点.

做法：利用轴对称变换，把同侧类型转化为异侧类型，把动点构造在两定点之间.这不仅使动点P要在直线L上，还要与两个定点共线，且在两定点之间. 这也体现了“两点之间线段最短”的原理.

模型二：“饮马问题”可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之差的绝对值的最大值”问题.

如图3所示：已知A、B在直线L同侧（或异侧），求在直线L上是否存在点P，使得PA-PB有最大值.

A、B在直线L同侧时，点P为线段BA的延长线与直线L的交点；A、B在直线L异侧时，点P为线段B′A的延长线与直线L的交点（B′是点B关于直线L的对称点）.

做法：利用轴对称变换，把异侧类型转化为同侧类型，把动点构造在两定点的延长线上，使得点P不仅在直线L上，还在两定点连线段的延长线上，同样是三点共线.

以上两种饮马问题模型，实际上利用了三角形三边关系（两边之和大于第三边；两边之差小于第三边）进行探索推理论证.

从数学文化背景中形成的数学问题并不只是具体问题，数学所探讨的不是转瞬即逝的知识，而是某种永恒不变的东西. 我们要会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界.