“列举策略”教学中的一次意外引发的思考

张晓霞

[摘 要]在列举策略中，“穷举法”是一种基本方法，它能通过分析对比所有可能方案找到最优方案。但是，“穷举法”在具体操作时也会有一些障碍：如何避开“穷举法”而选择搭配法、如何有规律地进行列举做到不重不漏、如何通过有限列举进行归纳推理等，只有攻克这些难题才能真正发挥“列举策略”的价值。

[关键词]列举策略；穷举法；意外；思考

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）20-0046-01

【教学案例1】 某教师在讲解苏教版教材五年级上册“解决问题的策略”的例题时，出示题目：王大叔用22根1米长的栅栏围一块长方形花圃，怎样围面积最大？

教师先让学生自由操作解决问题。教师在巡视中，发现大多数学生都能采用“穷举法”，有少数学生列举不全面。教师展示列举有缺漏的作业，引导学生有序列举，然后让学生在事先制作好的表格中填数列举。反馈时，教师选取从10米长开始往后降级排列的方式集中展示（如表1）。

新授课结束后，在练习巩固环节教师出示了一道题：学校食堂某天中午供应的荤菜有3种，素菜有4种。小红选择1种荤菜和1种素菜，一共有多少种不同的搭配方法？（荤菜：小炒红烧肉，可乐鸡翅，水煮肉片；素菜：葡萄黑醋渍萝卜，茄汁焗黄豆，西兰花圣诞树，自制酸菜）

就在学生一门心思地列举时（如表2），一位女生疑惑不解的样子引起了教师的注意。教师问明原委，原来这位女生觉得这题就是学过的搭配问题，只需要列式3×4=12就可一步到位地完成求解。此法一出，其他学生都感到惊诧万分。教师急忙救场……

一、诊断“病因”

课后，笔者与两名学生代表交流。首先询问降序排列列举的学生：“你为什么要从10开始？”他难为情地说：“从书上看到的。”随后笔者又询问那个用一步乘法解决搭配问题的女生：“你怎么想到用乘法计算呢？”她理直气壮地回答：“这道题本身就是求搭配种类数，用列举法太麻烦了。”

问完学生，笔者回过头再来询问授课教师：“为什么选择展示从10起头开始往后排的作业？”授课教师回答：“从10起头往后排，这是课本的成例。况且如果从1开始起头，那么‘长=1，宽=10不符合长和宽的性质。教材这么做也是出于这方面的考虑吧。”笔者又问：“那位女生的意见明明是对，你为什么刻意回避？”授课教师有些沉不住气地说道：“用穷举法解决问题是本节课的教学目标，按她的说法展开新课就会跑题。”

二、剖析“病理”

本节课的教学目标是让学生尝试用“穷举法”解决问题，遵循一定的规律做到完全列举不重不漏，感受“穷举法”的价值，形成思维的条理性和严密性。在备课时，我们应充分备好教材，并清楚认识学生的知识起点。反思上述教学过程，发现该教学主要存在三大问题。

问题一：在教学例题时，教师一般会循规蹈矩地从已知导出未知，并“列举”出所有情况：首先根据条件“1米长的栅栏”推断出长和宽只能是整数，再根据“22根1米长的栅栏”推理出长方形周长应为22米，最后由“面积最大”逆推出长和宽的配比。

问题二：常规教法都是先让学生随意列举，然后引导学生从无序走向有序。其实，有序排列并非新知。许多知识都需要有序思考，循序渐进。因此，教学本课时不妨直接点中要害：“当基本事件比较多时，怎样排列可以做到不重不漏？”学生自会调取有关经验进行有序排列。指明方向比指导方法更实用。这样就不必强求学生非得从10开始往后降级排列，而顺从学生的初始思维，从最小的1开始一一列举，至于“长宽比例不协调”这种担忧纯属杞人忧天，因为“长”与“宽”是可以互换角色的。

问题三：从教学现场可以看出，教师备课时疏忽了学生以前学过的“搭配规律”可以列式迅捷求解，一一列举确实是自找麻烦。

三、“病后”总结

好的教学应该能够瞻前顾后，辩证地看待问题。我们可以通过这道习题“回头看”——和搭配法对比，暴露出“穷举法”的局限性；也可以通过另一题“向前望”，在学生用“穷举法”顺利解答后，扩大题中数据和基本事件频次，让学生感到“穷举法”的烦琐低效。教师可以在恰当的时机摊牌：“以后学了最小公倍数，不用穷举就可以快速求解了。”學生最终明白：随着知识的更新，问题的解决方式也会更新。

总之，不论有无出现案例中的意外，我们都应该给学生灌输这样的指导思想：策略是活的。而要想学生学到活的策略，教师的教法首先得活。

（责编 罗 艳）