对“联动问题”的解法探究——用“微元法”和“转换参考系法”双解“联动问题”

孙德峰

(北京第十二中学 北京 100071)

刘 芳

(北京教育学院丰台分院 北京 100073)

在不少的竞赛题目中，都涉及到了“联动问题”．一般来讲，这些待求解的运动形式都较为复杂，利用高中教材中所讲授的典型运动规律很难求解，因此大部分辅导资料都采用了“微元法”来求解．

用“微元法”固然能够将问题解决，而且有利于提高学生解决动态变化过程的能力，但“微元法”也存在解题过程相对繁琐的不足．笔者在教学过程中发现，在解决“连结体”间的运动学问题时，由于涉及到的是两个或两个以上物体之间的运动，故灵活地转换参考系，会使问题大大得到简化．下面甄选4个典型题目，各用两种方法求解，供读者参考．

图1 例1题图

微元法:

从如图1所示的时刻再经过Δt→ 0的时间，圆环运动到了如图2所示的虚线位置．为了读者阅读方便，笔者将圆环的移动距离做了适当的夸张(以下皆为如此)．容易发现圆环与直杆的交点M点运动到了M′点，连接OM和O′M′，交点为D．由于Δt→ 0，不难得到

∠MDM′ = ∠ODO′ = Δθ→ 0

图2 圆环移动

在OM上取一点E，使得DE=DM′；在DO′上取一点F，使得DO=DF．

值得注意的是，我们现在构造了两个非常特殊的等腰三角形．由于顶角趋近于零，则两个底角就趋近于90°，可以认为底边与两腰近似垂直．不妨给这样的三角形起一个特殊的名字——“双直角等腰三角形”．在接下来的题目中我们会逐渐体会到这种特殊的三角形在“微元法”中所起到的作用．

由于OM=O′M′，所以ME=O′F．因为C点是4等分点，则∠CMO= 30°；∠COM= 60°．再根据OM⊥OF,可知：∠FOO′ = 30°．所以MM′cos30° =ME=O′F=OO′sin30°，又OO′ =vΔt；MM′ =vMΔt，代入上式可得

转换参考系法：

由于直杆没动，所以沿直杆方向的速度即为M点相对地面的速度．以圆环为参考系，因为M点同时又沿圆环运动，故M点相对圆环的速度必沿圆环切线方向；同时，圆环又水平向右运动，所以圆环的速度v又可理解为牵连速度．根据v绝对=v相对+v牵连可知三者速度的几何关系如图3所示．很容易看出

图3 绝对速度、相对速度、牵连速度几何关系

【例2】如图4所示，一个半径为R的环(环心为O2)立在水平面上，另一个同样大小的环(环心为O1)以水平向右的速度v从前一个环的旁边经过．试求当两环环心相距为d(2R>d> 0)时，两环上部的交点A的运动速度．两环均很薄，可以认为两环是在同一个平面内，第二个环是紧贴着第一个环掠过去的．

图4 例2题图

微元法：

从如图4所示的时刻再经过Δt→ 0的时间，圆环运动到了如图5所示的虚线位置．交点由A点运动到了B点，而原来的A点随左边圆环平移到了C点．由于Δθ→0，所以△ABO2为“双直角等腰三角形”，故

∠CAB= 90°-θ

图5 圆环运动

又知道AC=O1O1′，所以有

转换参考系:

仿照例1的做法，不妨以运动的圆环为参考系，绝对速度为交点沿静止圆环运动的速度；相对速度为沿运动圆环运动的速度；牵连速度为运动圆环自身的速度，如图6所示．

图6 速度关系

根据几何图形的对称性，交点A沿两圆环的运动速度大小必然是相等的，图6中的矢量三角形为等腰三角形，故根据几何关系可得

【例3】两只小环O和O′分别套在静止不动的竖直杆AB和A′B′上．一根不可伸长的绳子，一端系在A′点上，绳子穿过环O′，另一端系在环O上．如图7所示，若圆环O′以恒定速度v′沿杆向下运动，∠AOO′ =α时，求圆环O的运动速度为多大？

图7 例3题图

微元法：

从如图7所示的时刻再经过Δt→ 0的时间，两圆环及细线运动到了如图8所示的虚线位置．在OE上取一点D，使CE=DE；在O′E上取一点D′，使C′E=D′E．由于Δt→0，故Δθ→0，所以又构造了两个“两直角等腰三角形”．

图8 圆环及细线运动

根据绳长不会发生变化这一特点，可写出几何关系

OO′ =O′C′ +CC′

结合上述特殊三角形的构造，得到

OD+O′D′ =O′C′

考虑到运动情况

OD=OCcosα=vΔtcosα

O′D′=O′C′cosα=v′Δtcosα

结合式(3)可以得到

转换参考系法：

本题有别于以上两个例题，连结体的两个“主角”都在运动，在这种情况下，就更需要以其中一个运动物体为参考系而不是以地面为参考系，从而使问题得到简化．例如，本题可以以O′环为参考系，则容易得到O环相对O′环的速度为

v相对=v+v′

在假定O′环不动的前提下，本题就简化为绳子末端速度分解的问题，如图9所示，沿绳子和垂直于绳子将v相对分解，得到

v相对cosα=(v+v′)cosα

图9 绳子末端速度分解

其中“v相对cosα”可以理解为收绳子的速度，即圆环O′下滑的速度v′，从而得到

v′=(v+v′)cosα

即

【例4】如图10所示，A，B，C为3位芭蕾舞演员同时从边长为l的三角形顶点A，B，C出发，以相同的速率v运动；运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A．试问经过多少时间3人相聚？每个演员跑了多少路程？

图10 例4题图

微元法：

本题很明显是一个连续变化的问题，首先想到的是利用“微元法”来解决．从如图10所示的时刻再经过Δt→ 0的时间，3位演员及其连线运动到了如图11所示的长虚线位置；又经过Δt→ 0的时间，3位演员及其连线运动到了短虚线的位置……

图11 3位演员及连线运动的情况

由于Δt→0，故Δθ→0，在A′B上截取A′O=A′B′，又构造了一个“两直角等腰三角形”．所以

A′B′=A′O=AB-AA′-OB

其中

AA′=vΔt

联立以上3式可得

同理

最终3位演员会相聚到一点，故

AnBn=0

得到

每位演员跑过的路程

转换参考系法：

A，B，C运动形式相同，故只需关注A，B就可以将问题解决．不妨以B演员为参考系，经过分析可以知道：A，B始终在一条直线上；A与B速度方向的夹角始终为120°．

那么A，B两位演员沿二者连线方向上彼此接近的相对速度为

最终A，B相遇，则A相对B走过的距离为l，则

故有

从以上4个例题来看，“微元法”的解题套路都很相似——构造好“两直角等腰三角形”，确立好边长和运动的关系即可将问题解决．“微元法”的优点是思路简单、易操作；缺点是画图、运算过程相对较为复杂．

而“转换参考系法”则是建立在对物体间运动关系的准确把握之上，当一个物体运动，另一物体相对地面保持静止的时候(例1和例2)，我们往往以运动物体为参考系，利用相对运动的矢量方程即可；在两个或两个以上物体都运动的时候，不能简单、直接地套用相对运动矢量方程得到相对速度，而是应该仔细观察二者之间的运动关系，究竟是合成之后再分解(例3)，还是分解之后再合成(例4)，这要视题目而定．

方法无好坏之分，从培养学生物理思维和解题能力的角度来讲，这两种解题思路都值得向学生介绍，只有这样，学生在遇到问题时才能有更开阔的思路，甚至还会想出更精彩的解法．