基于最小二乘法的GPS卫星伪距定位椭球面拟合

冯汀 甘淑 袁希平

摘要： 针对全球定位系统在定位过程中产生的误差的问题，提出了一种基于最小二乘法的伪距定位坐标的椭球面拟合方法。利用4颗卫星解出一组解，在三维空间中以多组卫星解出的多个定位坐标进行球面拟合，求解的球心坐标即为地面点的可靠解。从一定程度上提升了卫星数据利用率，提高了卫星定位精度。

Abstract： In view of the problem of the error caused by the global positioning system in the process of positioning， a ellipsoid fitting method based on the least square method of pseudorange positioning is proposed. It uses of 4 satellites to solve a set of solutions ， and in 3D space with multi satellite solution of multiple location coordinates to do the ellipsoid fitting， center coordinates is a reliable solution of the ground. To a certain extent， it improves the utilization of satellite data， and improves the positioning accuracy of the satellite.

关键词： 全球定位系统；伪距定位；最小二乘法；椭球面拟合

Key words： GPS；pseudo range positioning；least square method；ellipsoid fitted

中图分类号：P228.4 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）20-0206-02

0 引言

GPS导航定位因为其高精度、全天候、高效率、功能多、易操作等特点可用于高精度的全国大地控制网的建立，陆地海洋大地测量基准的建立，及高精度的车载导航等各个方面。GPS定位误差来源主要有对流层折射误差，电离层延迟误差，多路径效应，与卫星及接收机时钟差等，这些误差可以通过一定的模型加以改正来减弱误差。本文介绍了GPS定位原理，运用多组GPS卫星求得的GPS定位坐标进行球面拟合，从而减弱了GPS定位过程中的计算舍入误差。

1 误差的表现形式

误差即是某一个量的观测值或计算值与其真值之差。误差在不同的空间中具有不同的表现形式。在一维空间中，误差Δ表现为真值M0沿一维方向的一個区间（图1）；在二维空间中，误差应表现为平面内以真值M0为圆心，以误差限Δ为半径的圆形平面区域中（图2）；在三维空间中，误差应表现为以真值M0为球心，以误差限Δ为球半径的球形三维区域内（图3）。

对于地面未知点M0而言，利用每一组卫星所求得的未知点M0的坐标，都是散布在三维球面的附近，因此，可以利用N组卫星求解出N组未知点的解，以N组解拟合为一个球面。则该球面所对应的球心坐标应为地面未知点M0的坐标。

2 GPS伪距定位原理

电离层和对流层改正可以按照一定的模型进行计算，卫星钟差？啄tj可以从卫星导航电文中取得。卫星（XS，YS，ZS）到地面接收机（X0，Y0，Z0）的几何距离？籽有如下关系[1]：

？籽2=（XS-X0）2+（YS-Y0）2+（ZS-Z0）2（1）

式中：？籽为卫星至接收机的几何距离。

因为接收机钟差？啄tk是未知数，因此共有四个未知数，接收机必须至少同时观测到四颗以上的卫星才能解算出接收机的三维坐标值。则：

[（X-X0）2+（Y-Y0）2+（Z-Z0）2]=？籽′j+c？啄tk+？啄？籽+？啄？籽-c？啄tj

（2）

式中：j为卫星数，j=1，2，3，…；k为接收机号；？啄？籽为卫星j的电离层改正数，？啄？籽为卫星j的对流层改正数；？籽′j是卫星j的伪距观测值，是待测距离与钟差等效距离之和。

？籽′j=？籽j+c？驻t； ？驻t=？啄tj-？啄tk

则可以4颗卫星的观测值作为一组，解出一组地面点GPS接收机的坐标，以多组解做椭球球面拟合，确定椭球球面的球心坐标，该球心坐标即为接收机的可靠解[2]。

（3）

求解出接收机坐标M1。

直至Mn。

当接收机可观测到5颗卫星时，可组成C=5组方程组，即可解出5个地面接收机的坐标。当接收机可观测到6颗卫星时，可组成C=15组方程组，即可解出15个地面接收机的坐标；…以此类推当可观测到j个卫星时，则可组成C==n个方程组，即可解出n个地面接收机坐标。进而将n个地面接收机坐标进行球面拟合，求出球心坐标，可观测的卫星数量越多，最终得到的球心坐标精度越高，但同时，所做的计算量也将越大。

3 基于最小二乘法的GPS坐标椭球面拟合

最小二乘法作为一种数学优化技术，具有的简单、快速和稳定的性能等特点。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。其思想是将待拟合理想参数即球心坐标与球半径作为待定系数，每一个采样数据（每组求得的地面接收机坐标）和理想参数（地面接收机坐标的真值）之间会有一个误差，该误差被称为函数偏差亦称为残差。将所有残差的平方和相加作为目标函数，当目标函数最小时待定参数的值就是拟合值[3]。

理想的空间三维椭球面的表达式为：

（）2+（）2+（）2=1（4）

其中共有6个未知数，X0，Y0，Z0，A，B，C。其中（X0，Y0，Z0）为椭球面球心，即地面未知点的绝对真值坐标[4]，式（4）也可表述为：

X2+aY2+bZ2+cX+dY+eZ+f=0（5）

其中

a=，b=，c=-2X0，d=-2Y0，

e=-2Z0，f=X02+Y02+Z02-A2

因为求解出的接收机坐标（M1，M2…… Mn）都是离散在以M0（X0，Y0，Z0）为球心，以A，B，C为半轴的椭球球面上，所以将求解出的n个地面接收机坐标Mn带入式（5）后，其方程式并不一定等于零。

故设：

kt=Xt2+aYt2+bZt2+cXt+dYt+eZt+f（6）

在式（6）中，kt为各求解出的接收机坐标与拟合球面的相应的函数偏差值即残差值。

即当：

∑（Xt2+aYt2+bZt2+cXt+dYt+eZt+f）2=∑kt2=min（7）

为最小值时，该拟合最小二乘球面的效果最好，其椭球球心坐标最逼近地面点的真实值。

可令：

K（a，b，c，d，e，f）=∑kt2=∑（Xt2+aYt2+bZt2+cXt+dYt+eZt+f）2（8）

要使K（a，b，c，d，e，f）最小值，则可使K对（a，b，c，d，e，f）的一阶偏导数等于0，则[5]：

=0=0=0=0=0=0即∑kt=0∑kt=0∑kt=0∑kt=0∑kt=0∑kt=0→∑ktYt2=0∑ktZt2=0∑ktXt=0∑ktYt=0∑ktZt=0∑kt=0（9）

其中t=1，2，3……n，为拟合曲面上的点数。

通过求解式（9），即可求得a，b，c，d，e，f。从而求得球心坐标为M0（a，b，c），即为地面点的最可靠值。拟合椭球球面短半轴为d，e，f。分别代表求得的接收机坐标在X，Y，Z方向的最大误差限Δ。其值越小表示拟合球面的可靠性越高，誤差越小。

在三维空间坐标系中，空间被分为8个小区间。在大多数情况下，当观测条件较好时，一般能达到8颗卫星，随机组合4个卫星为一组，此时可得到70个解。平均每个小区间分布有9个点；当可观测到9颗卫星时，可得到126个解，平均每个小区间分布有16个点，可观测到的卫星数量越多，求出的观测解数量越多，每个小区间内分布的点越多，拟合球面的可靠性越高，对应的球心即地面接收机坐标值越精确。

4 结束语

传统的GPS定位方法是将观测到的GPS卫星以4个为一组进行求解，求出多组解，最终从中选择最可靠的值作为地面接收机的值。然而这样的选择方法误差太大，没有充分利用观测到的所有卫星数据，造成数据浪费。本文通过GPS卫星伪距定位的球面拟合可以充分利用所有观测到的卫星数据，不会造成数据浪费，可以充分利用各个GPS卫星的数据，提高其拟合精度，增大定位的可靠性。但是此种方法定位精度提高，对应所需的计算量会逐步增加，需要更高的硬件配备，所需时间也会提高。所以此种方法可应用于高精度的大地控制网，建立高精度的地面控制点，在静态定位下效果有更高的可靠性。

同时，应在观测时选取观测条件较好的区域，尽量提高观测环境的质量，应尽量避免大面积水面，与覆盖物遮挡，减弱多路径效应带来的影响。对于对流层折射改正模型与电离层延迟改正模型应根据相应地域选取符合观测地的改正模型。

参考文献：

[1]徐绍铨，张华海，杨志强.GPS测量原理及应用[M].第三版. 武汉：武汉大学出版社，2008：61.

[2]康四林，李语强.GPS定位中的误差分析[J].天文研究与技术，2010（03）：222-230.

[3]杨恒亮，屠大维，赵其杰.基于三坐标测量机的大口径球面拟合测量方法[J].工具技术，2007（12）：78-81.

[4]潘国荣，房鹤飞，唐杭.基于等效全最小二乘准则的稳健球面拟合方法[J].测绘通报，2013（S1）：99-102.

[5]任新生，杨建国，朱训生，薛秉源.拟合最小二乘球的球度测量[J].机械设计与研究，1994（04）：41，45-46.