基于混沌粒子群算法的冰箱压缩机隔振优化设计

李成喜，张建润，杜晓飞，吕剑乔

（东南大学 机械工程学院，南京 211189）

风冷冰箱的噪声振动水平是该类产品体现市场竞争力的一项重要性能指标，测试发现风冷冰箱的噪声与振动很大程度上来源于压缩机。所以压缩机隔振系统的性能优劣将直接影响冰箱的用户体验度和市场占有率，性能优良的隔振系统是风冷冰箱实现低噪声工作的一项基本保证。

正确确定减振元件的安装位置、安装角度及三向刚度，合理匹配隔振系统才能最大限度发挥它的隔振性能。目前国内外在隔振系统的参数优化方面存在许多较为成熟的设计理论及研究方法。在优化目标方面主要有合理配置系统的固有频率，提高系统各自由度的振动解耦程度[1]，使支撑动反力最小化[2]，使低频残余振动最小化[3]，使广义力传递率最小化[4]及考虑与频率相关的刚度和损耗因子[5]等。在优化算法方面，大多采用广义简约梯度法、序列二次规划法、复合形法和惩罚函数法等[6]传统优化算法对隔振系统的隔振性能加以优化，但对于复杂的非线性问题计算往往无法收敛[7]。同时，也有学者尝试将遗传算法、模拟退火算法、6σ准则以及不同算法间组合等[8]现代智能算法应用到隔振优化上，取得了一定成果，但是依然存在收敛效率低、容易趋向局部最优的缺点。

由于压缩机隔振系统能量解耦的数学模型与弹性支撑参数间的函数规律复杂，而混沌粒子群算法能在保证全局最优搜索能力条件下加快收敛，尤其对于复杂工程问题表现出较好的寻优能力[9]。因此文中针对传统优化算法在搜索寻优时由于依赖梯度信息容易导致收敛于局部最优的缺点，首次采用基于罚函数约束的混沌粒子群算法进行隔振参数寻优，提出以6自由度最大程度解耦为优化目标，以4点支撑的各向主轴刚度为优化变量，以固有频率合理配置、支撑刚度、压缩机位移等为约束条件的频率离散优化方法。同时，将混沌粒子群算法优化结果与2次序列规划法和遗传算法进行综合分析比较，并借助动力学仿真分析验证所提优化方法的隔振效果。

1 冰箱压缩机隔振系统动力学模型

风冷式冰箱的压缩机及其隔振系统包含组件较多，结构较为复杂。考虑到该隔振系统的刚度比冰箱箱体及压缩机刚度小得多，且橡胶支撑间的距离远远大于橡胶支撑本身尺寸，因此可以假设压缩机及冰箱箱体为刚体，四个橡胶支撑分别为三个相互垂直的黏性弹簧。将压缩机隔振系统简化为一个6自由度模型，如图1所示。其中G0-XYZ为定坐标系，G-XYZ为动坐标系，原点G0位于压缩机质心位置，X轴平行于压缩机曲轴轴线并指向冰箱前面，Z轴垂直地面向下，Y轴根据右手螺旋法则可以确定。静平衡状态时，动、定坐标系相互重合。压缩机的广义坐标定义为压缩机质心沿定坐标系X、Y、Z轴的平移x、y、z以及绕X、Y、Z轴的转角θx、θy、θz，其最终可以表示为

图1 压缩机隔振系统6自由度模型

根据拉格朗日定理和虚功原理进行推导，得到该压缩机系统振动的动力方程如下式所示

式中：Q为系统广义坐标向量；T为系统动能；U为系统的势能；D为系统的耗散能；F为系统所受广义激励力。将该隔振系统的动能、势能和耗散能代入上式，得到隔振系统的振动微分方程

由于橡胶支撑阻尼很小且主要对振动起衰减作用和抑制共振峰值，而对隔振系统的固有特性几乎没有影响，因此计算该隔振系统固有频率时其阻尼影响可以忽略，可得隔振系统在无阻尼条件下的自由振动微分方程[10]

其中：[M]为隔振系统的质量矩阵；[K]是隔振系统的刚度矩阵。

2 6自由度系统隔振设计的能量解耦法

一般情况下，刚体隔振系统在6个自由度上的6个固有振型在振动时是相互耦合的，任意方向上的振动激励都会引起系统的振动耦合，使得隔振系统振幅增大，共振频率带范围扩大，从而使得系统产生共振的几率增加。

从能量守恒定律出发，系统沿着某个广义坐标振动的动能与势能可以相互转化，但二者的和保持不变。因此系统沿某一广义坐标方向上的能量可用系统最大动能表示,也可用最大势能表示，文中采用最大动能来表示

其中：ωi为系统的第i阶固有频率；{Φi}为第i阶固有振型向量；mkl为质量矩阵[M]的k行l列元素；(φi)和k(φi)分l别为固有振型{Φi}的第k和l个元素。由此可得，系统第i阶固有频率对应的第k个广义坐标分配到的能量所占系统能量的百分比为

3 混沌粒子群算法的实现

粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)是Kennedy和Eberhart在1995年提出的群智能优化算法，该算法对Hepper的模拟鸟群模型加以修正，模拟鸟类觅食行为，使粒子能够飞向解空间，并能在最优解处降落。同遗传算法（Genetic Algorithm，GA）等群优化算法相比，粒子群算法以群体迭代和搜索空间内的粒子初始化为基础，但没有GA算法中的交叉和变异操作，而是基于种群中粒子的群体社会行为进行优化，通过调节解空间中每个粒子的位置、飞行速度使其朝向自身历史最佳位置及整个种群的最优粒子位置，实现全局寻优[9，11]。

假设在一个S维的目标搜索空间中，有m个粒子组成的群体，其中可将第i个粒子表示为一个S维向量，任意一个粒子即是一个潜在的解。将x→i代入适应度函数，根据计算得到适应度衡量解的优劣。第i个粒子的的飞行速度表示为向量记第i个粒子最后搜索所得到的最佳位置为整个种群寻到的最佳位置为

任一种群粒子的位置更新具体见式（6）和式（7）。

式中：i=[1,m],s=[1,S]；非负常数c1和c2为学习因子；r1和r2相互独立，服从[0,1]上的均匀分布。vis∈[-vmax,vmax]，vmax为最大限制速度；ω为调整寻优快慢的惯性权重，文中采用线性形式

式中：t和Tmax为迭代次数和最大迭代次数，ωmax和ωmin分别为最大和最小惯性权重。

可以看出，该算法原理简单，容易实现，无需梯度信息，所需参数少，具有较好鲁棒性和收敛性，因此在组合优化、人工智能、工程机械等复杂领域中的应用越来越广[11]。而混沌粒子群算法（Chaos Particle Swarm Optimization，CPSO）则是该算法的一种参数改进形式。

3.1 优化数学模型

（1）目标函数

隔振系统的能量解耦优化是一个有约束的最优化问题，优化目标是最大程度提高6个方向的解耦率。为了降低问题复杂性，此处采用加权因子法将多目标优化转化为单目标优化问题，目标函数可用式（9）表示。

式中：wi为第i阶模态能量的加权因子，Tpi为第i阶固有模态主要振动方向能量百分比。由于垂直方向Z和绕曲轴转动方向RX为主要方向，故其加权因子取1.0，其余方向取0.5。

（2）设计变量

隔振系统的固有频率与系统的质量、转动惯量和弹性支撑的个数、位置、刚度及安装角度有关。考虑到设计和生产成本，以四个隔振元件的各向主轴刚度为设计变量，而且由于隔振元件为轴对称结构，故设计变量为x=[ku1,kw1,ku2,kw2,ku3,kw3,ku4,kw4]。

（3）约束设计

固有频率合理配置：风冷式冰箱压缩机隔振系统的固有频率必须小于压缩机激励频率的倍，同时考虑压缩机启动瞬间的变频效应，固有频率不得小于一定频率，文中取为5 Hz。另外，为了减小共振几率及共振区间，各个方向上的固有频率差不得小于1 Hz。

支撑刚度：根据隔振原理，支撑刚度应设计得越小越好，但是刚度太小会使恶劣工况下压缩机位移增大，影响支撑疲劳寿命。从限位作用看，支撑刚度则越大越好，但是隔振效果较差。根据经验和橡胶材料特性，频率及刚度约束如下所示。

3.2 混沌粒子群算法的应用设计

在标准粒子群算法中，粒子向自身历史最佳位置和邻域或群体历史最佳位置聚集，会形成粒子种群的快速趋同效应，容易陷入局部最优，且后期收敛较慢，精度不高，即出现早熟现象。针对标准粒子群算法的以上缺点，学者提出了许多改进的粒子群算法。为了平衡粒子群算法的全局和局部寻优能力，文中最终采用混沌粒子群优化算法。该算法采用混沌搜索，能够在优化早期鼓励粒子在整个搜索空间移动，而在优化后期提高逼近最优解的收敛速度。

CPSO算法优点在于将粒子群算法与混沌搜索结合起来，混沌搜索原理如下：

(1)按照式（11）将优化变量xn,i映射到混沌空间[0,1]上，得到混沌序列初值cn,i

其中i为优化变量空间维数为优化变量取值空间。

(2)根据logistic映射方程将混沌序列初值cn,i转成混沌序列新值cn+1,i；

(3)按照式（12）将新混沌序列cn+1,i反向映射到原始空间内，得到新优化变量xn+1,i

(4)计算得到新优化变量xn+1,i的目标值；若符合混沌搜索的最大次数，则取较优解为结果，否则回到步骤(2)继续。

CPSO算法应用到减振优化设计中的另一难点在于约束的处理，即解的可行性，因为约束的处理好坏对优化收敛性影响较大。假设目标函数为F(x)，B为满足约束条件的可行解空间，则目标函数最小化的数学模型为

式中：gi(x)≤0为不等式约束条件，等价等式约束则将原优化问题转化为无约束最优化问题

其中F(x,r)为罚函数；rp(x)则为罚项；r为罚因子，是从小到大趋于无穷的数列，即r0＜r1＜r2＜…→∞。

其中c为递增系数，一般可取5～10，文中最终取8。

因此文中基于罚函数采用CPSO算法综合考虑固有频率及刚度约束，所构建罚函数对可行解不做处理，对非可行解施加惩罚，从而将约束优化问题转化为无约束优化问题。考虑到CPSO算法的搜索性能对算法参数依赖较大，故算法参数设置经多次调试以后确定，如表1所示。

表1 混沌粒子群算法相关参数

CPSO算法首先根据表1参数设定初始化种群并计算各粒子目标函数值和适应度值，从中更新个体极值和群体极值，然后计算粒子间平均距离和适应度方差判断是否早熟，如果早熟，则将混沌搜索到的最优点随机取代一个粒子，且用式（6）、式（7）更新粒子；否则直接利用式（6）、式（7）更新粒子。如此循环往复下去，直到满足程序终止条件。具体优化流程如图2所示。

图2 混沌粒子群算法优化流程图

4 压缩机隔振系统参数优化

4.1 压缩机系统参数

风冷式冰箱压缩机质量为8.80 kg，表2给出了压缩机的转动惯量和惯性积参数；橡胶支撑点相对冰箱整机坐标系的位置及角度参数可由UG三维模型获得，如表3所示。

表2 压缩机的转动惯量及惯性积（/kg·m2）

表3 橡胶支撑位置及角度参数

4.2 传统设计隔振效果分析

表4为采用传统设计方法获得的压缩机隔振系统参数，表5为运用MATLAB程序根据传统设计方法计算得到的固有频率及能量解耦率。从固有频率的计算结果来看，最低和最高固有频率分别为9.97 Hz和44.91 Hz，而压缩机正常工作转速为2 100 r/min，显然超出压缩机激励频率的倍，也就是24.75 Hz；而且第4和第5阶固有频率间距较小，会使共振频率范围扩大，从而容易导致共振。从解耦率来看，Z和RX两个方向上振动耦合严重，能量解耦率不到70%，同时Y和RY方向上解耦率不足80%，也有待提高。因此为了实现固有频率的合理配置和解耦率的提高，需重新优化设计橡胶支撑的刚度。

表4 根据传统设计方法获得的支撑各向刚度

表5 根据传统设计方法获得的固有频率与能量分布

4.3 传统设计隔振效果分析

CPSO优化后的橡胶支撑最优刚度见表6，固有频率以及能量分布优化结果如表7所示。

从表4和表6可以看出，根据传统设计方法得到的压缩机橡胶支撑明显偏硬，与前期压缩机隔振测试的频域分析（低频没有隔振效果，中高频存在一定隔振效果）所反映出的结论是一致的。同时，对比表5和表7可以看出，Z向解耦率从66.85%提高到99.71%，RX方向解耦率则从59.74%提高到90.94%，其余自由度方向上的解耦率也都得到较大程度提高。各自由度上的固有频率间距均大于1Hz，主要方向Z和RX方向的频率间距为2.47 Hz，大于1.5 Hz。整个固有频率所在范围没有超出频率上下限，且远离压缩机激励频率35 Hz。因此，所建CPSO优化模型能够明显提高压缩机系统的隔振性能。

4.4 CPSO与其它算法比较

为了深入研究混沌粒子群优化算法可行性，采用传统的基于梯度信息的序列2次规划法（Sequence Quadratic Programming，SQP）以及人工智能中目前较为成熟的GA算法优化该冰箱压缩机隔振系统，优化后所得系统固有频率和能量分布与根据CPSO方法所得结果的比较可见图3和表8。

表6 经混沌粒子群算法优化后的支撑刚度参数

表7 经混沌粒子群算法优化后的固有频率与能量分布

表8 不同优化算法得到的隔振系统固有频率比较

图3 不同算法优化后的能量分布比较

从图3和表8中对于传统设计、SQP优化、GA优化和CPSO优化所得系统的固有频率和能量解耦情况的比较，可以看出：

（1）经CPSO优化后的隔振系统，6个自由度方向上的振动解耦情况均优于SQP的优化结果，尤其是在对压缩机隔振效果影响最大的垂直振动方向（Z向）和绕X轴转动方向（RX向）上的能量解耦率，比SQP优化值更高。原因在于SQP主要是按照梯度信息寻优，容易陷入局部最优解中，而且优化结果强烈依赖于初始值的选取。但是CPSO算法由于采用混沌搜索机制和线性动态惯性权重系数能跳出局部最优解，获得所需的优化结果。

（2）由图可知，在X、RY和RZ自由度上，CPSO优化结果与GA算法优化所得解耦程度基本一致，差别很小。但是在其余自由度上，尤其是对隔振效果影响最大的Z和RX两个方向上，CPSO优化所得振动解耦程度均高于GA优化结果。原因在于虽然GA算法的理论研究和工程应用相对成熟，但是由于其自身的固有缺点，GA算法依然存在陷入局部最优解的可能。以上优化算法分析比较结果也是本文采用混沌粒子群优化算法的主要原因所在。

5 隔振优化结果的仿真分析与验证

由于将压缩机和冰箱箱体视为纯刚体，压缩机结构特性仅取决于其质量、质心位置、转动惯量及惯性积，而与压缩机外形和尺寸无关。冰箱箱体等同大地，四点橡胶支撑采用线性衬套结构模拟，同时忽略其阻尼和扭转刚度。

图4为基于ADAMS/Vibration模块建立的风冷冰箱压缩机隔振系统的多体动力学模型。在压缩机质心施加标准工况激励，并在四个橡胶支撑点建立输出，获取支撑点垂向（Z向）动反力。优化前后隔振系统四个橡胶支撑Z向动反力合响应的时间历程及压缩机质心在垂直方向的振动位移如图5和图6所示。

图4 6自由度压缩机隔振系统ADAMS动力学模型

由图5可知，CPSO优化前后隔振系统四个橡胶支撑Z方向的响应合力均值分别为86.247 0 N和86.243 2 N，与压缩机重力基本相等，从而验证所建压缩机隔振系统6自由度模型的正确性。由计算可知，橡胶支撑处响应合力在稳态下其幅值从优化前的1.386 9 N降低到优化后的1.016 0 N，降幅为26.74%；其标准差从优化前的0.953 0变为优化后的0.709 4，降幅为25.56%，而且优化后的支撑动反力更快趋于平稳状态。

图5 优化前后橡胶支撑处响应合力的比较

图6 优化前后压缩机质心的Z向位移比较

考虑到零件间的干涉及压缩机两端硬质橡胶管的振动效应，并参考压缩机相关设计标准，文中压缩机最大位移最好不要超出1 mm。从图6可以发现，经CPSO优化后的压缩机质心相对优化前（传统设计方法）虽然在主要垂直方向（Z向）最大位移从0.39 mm增加到0.88 mm，但是依然满足小于1 mm的要求，而且在其余方向上的最大位移也均小于1 mm，也就是符合位移约束。因此以上仿真分析结果再次验证了CPSO优化方法可以明显提高压缩机系统的隔振效果。

6 结语

针对传统的参数优化设计方法（SQP）容易陷入局部最优和迭代发散的缺点，提出以隔振系统的六自由度最大程度解耦为优化目标、以四点支撑的各向刚度为设计参数、系统频率离散分配的优化方法，首次采用基于罚函数约束的混沌粒子群算法进行隔振系统的参数寻优。该优化方法克服了传统算法SQP的固有缺陷，优化所得系统固有频率配置相对SQP优化方法和GA优化方法更加合理，整体解耦程度更高，结果更趋向于全局最优解。多体动力学仿真也验证了所提混沌粒子群优化方法应用于隔振设计的合理性和有效性。