圆的标准方程与一般方程的特点与分析

刘乐瑶

摘 要：圆的标准方程与一般方程各具特点，但都是我们所需要掌握的重要内容。通过标准方程能够对一般方程进行推导，能够让我们更好地理解圆的特点和相关知识。本文对圆的标准方程与一般方程进行分析，以供参考。

关键词：圆的标准方程 圆的一般方程 分析研究

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2018）07-0-01

一、圆的标准方程分析

圆的标准方程为。在圆的标准方程中，包含有a、b、r这三个参数，也就是圆心坐标为（a，b），只需要将a、b、r计算出来，就可以确定圆的方程。所以，在对圆方程进行确定的过程中，应当具备三个独立的条件，圆的定位条件就是圆心坐标，圆的定形条件就是其半径。[1]

1.圆的方程

当时，则圆心O的坐标为（0，0），我们将其称之为1单位的圆；

当时，则圆心O的坐标为（0，0），其半径为r；

当时，则圆心O的坐标为（a，b），其半径为r。

在对圆的方程进行确定的过程中，主要是对待定系数法这一方法进行运用，也就是将有关a、b、r的方程组列出来，将a、b、r分别计算出来，亦或是将圆心（a，b）与半径r计算出来，通常情况下，其步骤是：

依据有关题意，将圆的标准方程列出来；

依据相关已知条件，对有关a、b、r的方程组进行建构；

对所建构的方程组进行计算，分别将a、b、r的数值计算出来，将所计算的数值带入到圆的标准方程中去，进而就可以将所求圆的方程计算出来。

2.方程推导

平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（a，b），点P是圆中任意一点，其坐标为（x，y）。

圆属于平面到定点距离等于定长的所有点的集合。[2]

因此，，分别将两边平方，可以得出。

3.点与圆

关于点P（x1，y1）与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系：

当的情况下，那么点P位于圆外；

当的情况下，那么点P位于圆上；

当的情况下，那么点P位于圆内。

4.直线与圆的位置关系

在平面图形中，在判定直线和圆的位置关系时，通常运用以下方法：

通过 其中B不等于0，可以得出关于x的一元二次方程。通过判别式的符号，就可以对圆与直线的位置关系进行确定，其位置关系如下：

倘若，那么圆与直线存在两个交点，二者是相交关系；

倘若，那么圆与直线存在一个交点，二者是相切关系；

倘若，那么圆与直线不存在交点，二者是相离关系。

如果B=0，使y=b，那么就可以将两个X值x1、x2计算出来，且规定，则：

倘若或者的情况下，二者是相离关系；

倘若的情况下，二者是相交关系。

几何法：

将圆心到直线的距离d计算出来，半径为r：

倘若，则二者是相离关系；

倘若，则二者是相切关系；

倘若，则二者是相交关系。

二、圆的一般方程

1.一般方程

圆的标准方程是与x和y相关二次方程，将元的标准方程展列开来，并根据x、y的降幂进行排列，可以得出：

假设D=-2a，E=-2b，F=a2+b2-R2，那么方程可以转换成：

任何圆的方程都可以用以上形式来进行表示，相比较于一般形式的二元二次方程，其具有以下特征：

（1）x2项的系数等同于y2项的系数，并且二者不为0；

（2）该方程中不存在xy的乘积项。

2.推导过程

我们已经得知圆的标准方程为，将其左半部分展开，可以得出：，在该方程中，假设，，，那么。可以将原方程表示为：。

3.推论

由此说明，一般情况下，将代表一个圆，所以，通过对一般方程进行配方运算，可以得出：

相比较于标准方程，可以判定：

（1）当的情况下，一般方程的圆心可以用表示，圆的半径则为。

（2）当的情况下，一般方程只可以用一个点表示，这种半径为零的圆称之为点圆。

（3）当的情况下，不存在任何点的坐标能够与圆的一般方程相满足，也就是说一般方程不能将任何图形表述出来，这种情况我们称之为虚圆。

三、圆的标准方程和一般方程之间关系

圆的标准方程与一般方程具有各自的优势，其中，圆的标准方程的优势就是能够将圆心与半径明确地指示出来，然而通过圆的一般方程，能够将方程式中的特征突显出来，有助于对曲线的形状开展相关区分工作。[3]

例题：计算方程的轨迹

解：在该方程中x2项与y2项的系数均为1，且不存在xy项，其与圆的方程形式相同，将该方程式进行配方可以得出：

，由此可以得出，该方程的轨迹就是一个圆，其圆心为点（1，-2），该圆的半径为4。

此外，对于圆的标准方程与一般方程之间的关系予以深入了解，也能够让我们对于其他问题予以很好解决，对于我们相关知识点的学习起到重要辅助作用。

圓的方程作为数学领域中极为重要的知识，需要我们学习和掌握。通过对其推导过程的了解，我们能够对公式有更深刻的认识，对公式也能够更好地加以应用。在此方面还有很大的提升空间，对于其相应特点需要深入研究与探索，在圆的方程应用方面同样也需要不断进行探索。

参考文献

[1]陈冰.翻转课堂在中职数学教学中的应用初探——《圆的标准方程》的教学实践有感[J].职业，2017（35）：100-101.

[2]冯柱.浅谈思维导图在《圆的一般方程》教学中的应用[J].读与写（教育教学刊），2016，13（09）：103-104.

[3]李适君.浅谈数学课堂的有效引入——以《圆的标准方程》为例[J].学周刊，2015（13）：90-91.