下有界线性算子与其伴随算子的关系

2018-08-27李琳

文理导航 2018年11期

李琳

【摘要】研究了Banach空间线性算子的伴随算子与Hilbert空间的伴随算子的关系，利用Riesz表示定理给出了无界线性算子是下有界的充要条件。

【关键词】下有界；伴随算子

在数学物理中，很多实际问题都转化成无穷维Hamilton系统，如流体力学、弹性力学、电磁学以及量子力学等数学物理问题。进而应用变分法使无穷维Hamilton系统导出无穷维Hamilton算子。对于无穷维Hamilton算子的研究，国内外很多学者做了大量工作，其中有一种方法是通过其伴随算子来求解无穷维Hamilton系统方程，无穷维Hamilton算子一般情况下是非自伴算子，非自伴算子谱理论的研究还处于初级阶段，没有形成完善的理论结构。而且，无穷维Hamilton算子的谱比自伴算子、u-标算子、积分算子等几类非自伴算子的谱要复杂的多，因为无穷维Hamilton算子可能存在连续谱、剩余谱。因此，無穷维Hamilton算子谱理论研究已经成为泛函分析、弹性力学、电磁学及应用力学中比较活跃的分支学科，引起越来越多的学者的关注。

实际应用中，下方有界算子出现在很多实际问题中，如流体力学、弹性力学、电磁学以及量子力学等数学物理问题。我们知道这些问题可以导出无穷维Hamilton系统，与此对应的算子矩阵就是Hamilton算子矩阵，而这些算子中有很多是下方有界算子。我们知道，线性算子的预解集主要考虑本身的下有界性，通过下有界得到线性算子的谱的相关结论。因此，下有界性是线性算子非常重要的性质.在本文，我们给出Banach空间及Hilbert空间无界线性算子的伴随算子的概念，应用Riesz表示定理证明了下有界线性算子和伴随算子之间的关系。

定义1.X，Y是Banach空间，T：D（T） X→Y是稠定线性算子，令T'y'=■，其中D（T'）={y'∈Y'：T是D（T）上的有界线性泛函}，称T'是T在Banach空间的伴随算子。

定义2.X是Hilbert空间，T：D（T） X→Y是X中稠定线性算子，令T*y=z，其中D（T*）={y∈X：存在z∈X，使得任意x∈D（T），（Tx，y）=（x，z）}，

称T*是T在Hilbert空间的伴随算子。

定义3.X是Hilbert空间，T：D（T） X→Y是X中稠定线性算子，存在m>0，使得‖Tx‖≥m‖x‖，∨x∈D（T），则称T是下有界算子。

引理1.X是Banach空间（或Hilbert空间），T是X中的稠定线性算子，若T不是下方有界，则存在{x■} D（T），使得‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。

证明：由于T不是下方有界，因此存在{u■} D（T），且‖x■‖=1，使得‖Tu■‖→0。 ■，Tu■≠0，

nu■，tu=0■

则‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。

引理2.（Riesz表示定理）设H是Hilbert空间，f是H上定义的有界线性泛函，则存在唯一的y■∈H，使得f（x）=（x，y■），∨■∈H，

并且‖f‖=‖y■‖。设σ（f）=y■，则σ（f）是定义在全空间H*上的双射，且共轭线性同构，即σ（αf+■g）=■■（f）+■σ（g），其中α，β∈C。

证明：证明略，见Weidmann《Hilbert空间的线性算子》P61 Th4.8。

定理3.X，Y是Banach空间，T：D（T） X→Y是稠定线性算子，y'∈Y'，若y'·T在D（T）上有界，则y'·T在X上存在唯一的有界泛函■。