基于概率密度演化法的隔震结构随机地震响应与可靠度分析

顾镇媛， 王曙光， 杜东升， 刘伟庆

(1.南通大学 建筑工程学院，江苏 南通 226019；2.南京工业大学 土木工程学院，南京 211816)

在实际工程中，地震动激励具有很强的随机性，结构输入的随机必然导致响应的随机。在计算与分析过程中，隔震结构在随机强震作用下的非线性受力状态是不可忽略的，有必要对其随机动力响应和动力可靠度进行全面的了解和掌握[1]。

李杰等[2-3]以概率守恒原理的随机事件描述与解耦的物理方程为基础，建立了广义概率密度演化方程，逐步发展并完善概率密度演化分析的理论。广义和经典的概率密度演化方程对于线性与非线性结构的分析均适用，同时广义概率密度演化方程从随机动力系统的物理本质出发，解决了经典概率密度演化方程维数多、难解耦、难求解等问题，为非线性结构的随机振动分析做出了重大的贡献。因此，采用广义概率密度演化方程对隔震结构这一强非线性的系统进行随机地震响应分析，为隔震结构的随机振动研究与精细化分析提供了新的思路。在结构可靠度[4-6]的计算过程中，应用最为广泛的是基于跨越过程理论的方法。但由于要对跨越事件的性质进行假定，使得基于跨越过程理论计算的结构动力可靠度的分析精度又难以确保。Chen等[7-8]在概率密度演化理论的基础上，施加吸收边界条件，提出了结构随机响应的动力可靠度分析的方法，即在得到反应量的极大值分布之后，在给定的安全区域内直接积分得到隔震结构响应极值的概率分布函数，通过响应限值，在概率分布函数曲线上获得隔震结构的动力可靠度。

本文将隔震结构简化为两质点计算模型，运用Bouc-Wen模型[9]和刚度退化的Bouc-Wen模型分别描述隔震层与上部楼层的滞变特性，建立结构随机响应的概率密度演化方程。以8 度设防烈度的隔震结构为例，充分考虑地震动的随机特征，采用基于物理的工程场地地震动模型合成人工地震动，研究结构参数的随机性对随机地震激励下结构位移响应与可靠度分布的影响。

1 隔震结构力学模型

光滑滞变恢复力过程可以用微分方程来描述，其中Bouc-Wen模型的表达式为

(1)

式中:A为控制滞变位移z初始刚度的参数；β,γ为控制滞变曲线丰满程度的参数；n为控制骨架曲线的参数。

刚度退化的Bouc-Wen模型为

(2)

式中:δν和δη分别为控制强度、刚度退化的非负常数;δA为控制强度、刚度同时退化的非负常数;α为第二刚度系数;k为初始弹性刚度。

隔震结构隔震层与上部结构的滞变特性可以采用上述Bouc-Wen模型和刚度退化的Bouc-Wen模型来分别模拟，且其运动方程为

(3)

在状态空间中，隔震结构的运动方程可写成为

(4)

式中：向量{X(t)}与向量{E}分别为

(5)

由于隔震层与上部结构的滞变恢复力模型不同，矩阵f[X(t)]分别对应

f[X(t)]=

(6)

f[X(t)]=

(7)

状态方程式(4)是一阶常微分方程，可以运用四阶龙格库塔方法迭代求解隔震结构的响应。

对于高宽比较小、布置规则对称的隔震结构，其上部结构受高阶振型影响较小，在地震作用下性态表现以水平平动振型为主，故可将隔震结构简化为上部结构与隔震层串联而成的两质点计算模型[10]，如图1所示。

图1 隔震结构的两质点计算模型

Fig.1 The two masses calculating model of the isolated structure

图1中:Mb和Ms,Kb和Ks,Cb和Cs分别为隔震层与上部结构的等效质量、等效水平刚度与等效阻尼;xb和xs分别为隔震层与上部结构的相对层间位移。隔震结构上部的等效质量Ms和等效水平刚度Ks可表示为

(8)

式中：假设上部结构的基本振型φ1i和自振周期T1均已求得，mi为各楼层质量；ki为各楼层水平刚度。

2 概率密度演化方程与可靠度理论

对应于n个自由度的隔震结构，其随机动力系统可表示为

式中：X为系统的层间位移响应指标；Θ为随机变量系统，记(X,Θ)的联合概率密度函数为pXΘ(x,θ,t)，根据概率守恒原理

(10)

求解式(10)并积分即可给出X的概率密度函数

(11)

式中：ΩΘ为Θ的分布区域。

根据首次超越破坏准则，结构的动力可靠度可以表示为随机事件的概率P{·}

R=P{X(τ)∈Ωs,τ∈[0,T]}

(12)

式中：Ωs为安全区域。如果是对称的双边安全界限，式(12)可改写成

R=P{Xa≤xb}

(13)

式中：xb为界限值，而Xa定义为结构动力系统响应绝对值|X(τ)|在区间[0,T]内的最大值

(14)

若已知Xa的概率密度函数pXa(xa)，可得到结构的动力可靠度

(15)

构造一个τ虚拟时间参数的虚拟随机过程Z(τ)，显然，Xa为Z(τ)在τ=1时的截口随机变量，即

Xa=Z(τ)·τ=W(Θ,T)·τ=Z(τ)|τ=1

(16)

则(Z,Θ)的联合概率密度函数pZΘ(z,θ,τ)满足概率密度演化方程

(17)

对应的初始条件为

pZΘ(z,θ,τ)|τ=0=δ(z)pΘ(θ)

(18)

求解偏微分方程式(17)与式(18)，可以给出联合概率密度函数pZΘ(z,θ,τ)，进而给出Z(τ)的概率密度函数

(19)

由式(12)可知

pXa(xa)=pZ(z,τ)|z=xa,τ=1

(20)

将式(19)代入式(15)，即可求出隔震结构的可靠度

(21)

隔震结构的各层间位移按照结构失效模式间的逻辑关系，可视为串联结构关系，假定层间位移失效非关联，可得到隔震结构的体系可靠度为

PS=Pu·Pb

(22)

(23)

式中：PS为隔震结构的体系可靠度；Pu为上部结构的可靠度；Pb为隔震层的可靠度；Pj为结构第j楼层的可靠度。

3 两质点模型参数化分析

以隔震结构两质点模型为例，隔震层的质量Mb与刚度Kb分别为330×103kg和30×103kN/m；上部结构的质量Ms和刚度Ks分别为2 480×103kg和425×103kN/m。考虑地震动的随机性，选取基底输入傅式谱值Sg、场地圆频率ω0以及场地等价阻尼比ξg作为随机变量，三个参数都服从对数正态分布，其均值(μ)与变异系数(υ)信息[11]见表1。

表1随机地震动模型参数的均值与变异系数

Tab.1Theparametersofmeanandvariationcoefficientofrandomseismicmodel

场地类别ⅠⅡⅢⅣμυμυμυμυSg0.220.500.250.500.290.500.350.50ω0180.40150.40120.4290.42ξg0.650.300.700.300.800.350.850.35

采用数论选点方法[12]选取202个离散代表点，并根据基于物理的工程场地地震动模型[13]和基于Fourier谱的地震动合成方法[14]，合成202条人工地震动。考虑随机地震动非平稳特性，均匀的调制函数可采用

(24)

式中:t1=0.8 s;t2=20 s;c=0.35 s-1。

根据Baber等对隔震结构两质点模型的恢复力模型参数取值，Bouc-Wen模型：A=n=1，β=γ=0.5，αb=0.1；考虑刚度退化的Bouc-Wen模型：A=n=1，β=γ=0.5，δA=δυ=0，δη=0.2，α=0.4。

假定抗震设防烈度为8度(0.40g)，场地土为Ⅱ类，利用上述生成的202条合成地震波，利用概率密度演化方法(Probability Density Evolution Method,PDEM)和Monte Carlo方法(MCM)对隔震结构简化两质点模型进行8度罕遇地震下的响应分析。图2和图3分别为隔震层和上部结构位移的均值(Mean)、方差(Std. D)曲线。从图中可以看出采用概率密度演化方法求得的隔震结构响应的均值和方差与采用Monte Carlo方法求得的结果非常接近，说明采用概率密度演化方法是合理的。

图2 隔震层位移均值

图3 上部结构位移均值

Fig.3 The mean and standard deviation of the superstructure’s displacement

选取场地条件、隔震层的阻尼比ξ，隔震前后的周期比η=Ts/TIS和隔震层屈服力与上部结构总重力的比值屈重比ζ为分析参数(四个参数)，研究抗震设防烈度为8度(0.30g)时结构设计参数随机性对结构位移响应与可靠度的影响。表2为隔震结构两质点模型的参数变化范围。

不同的场地条件对地震动的传播有放大或缩小的影响，从而影响隔震结构的随机地震响应。在场地条件变化过程中，其他设计参数保持不变(阻尼比取15%、周期比取0.30、屈重比取3%)。运用概率密度演化理论计算隔震结构两质点模型的层间位移响应与可靠度。图4～图7给出了不同场地条件下，隔震层与上部结构层间位移响应极值的概率密度函数(Probability Density Function,PDF)曲线与概率分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)曲线。

表2 隔震结构参数变化范围

从图4和图6可以看到，Ⅰ类场地条件下，结构层间位移极值的概率密度集中在较小的位移范围内，隔震层与上部结构层间位移极值分别在159 mm与4.32 mm处的概率最大；Ⅳ类场地条件下，隔震层与上部结构的位移极值分别在241 mm与6.44 mm处的概率最大，其概率密度分布在较广的位移范围内。说明随着场地土变软，隔震层与上部结构层间位移极值的概率密度分布范围变广，出现较大位移的概率增大。从图5和图7可看出，Ⅰ类场地下，隔震层与上部结构位移极值的概率分布函数在较小的位移处便达到1.0，而相比之下Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类场地相应的位移明显增大。

图4 不同场地下隔震层位移极值概率密度

Fig.4 Probability densities of isolation story displacement extreme under different sites

图5 不同场地下隔震层位移极值概率分布

Fig.5 Probability distributions of isolation story displacement extreme under different sites

图6 不同场地下上部楼层位移极值概率密度

Fig.6 Probability densities of superstructure displacement extreme under different sites

图7 不同场地上部层位移极值概率分布

Fig.7 Probability distributions of superstructure displacement extreme under different sites

隔震层与上部结构的位移角限值分别取1/550与0.55Dmin，则隔震层位移限值为412.5 mm，上部结构位移限值为20 mm。表3为不同场地下隔震结构的体系可靠度。可以看出，隔震结构在Ⅰ类场地条件下的体系可靠度最高，为0.982 3；在Ⅳ类场地条件下的体系可靠度最低，为0.750 3。

隔震层阻尼比ξ的变化对隔震结构的位移响应有显著响应。屈重比取3%、周期比取0.30，基于Ⅱ类场地合成8度罕遇人工地震动，ξ的变化范围为5%～25%。图8～图11给出了不同隔震层阻尼比ξ下，隔震层与上部结构的层间位移响应极值的概率密度曲线与概率分布曲线。

表3不同场地条件下的隔震结构体系可靠度(ξ=15%,η=0.30,ζ=3%)

Tab.3 System reliability of the isolated model under

图8 不同阻尼比隔震层位移极值概率密度

Fig.8 Probability densities of isolation story displacement extreme with variedξ

图9 不同阻尼比隔震层位移极值概率分布

Fig.9 Probability distributions of isolation story displacement extreme with variedξ

图10 不同阻尼比上部楼层位移极值概率密度

Fig.10 Probability densities of superstructure displacement extreme with variedξ

图11 不同阻尼比上部楼层位移极值概率分布

Fig.11 Probability distributions of superstructure displacement extreme with variedξ

从图8和图10可以看出，在隔震层阻尼比ξ的变化过程中，当ξ为5%时在220.5 mm处的概率最大；当ξ为25%时在163.7 mm处的概率最大；且随着ξ增大，隔震层层间位移极值的概率密度分布范围变窄内，即出现较大位移的概率逐渐减小。上部结构层间位移极值的概率密度分布范围随ξ的增大而变小，但当ξ为5%时在4.50 mm处概率最大，而当ξ为25%时在5.48 mm处概率最大。

从图9和图11可以看出，隔震层层间位移极值的概率分布函数随着ξ的变大越来越偏于安全。上部结构层间位移极值的概率分布函数的变化则较为复杂，在产生较小位移时，ξ越小对应位移的可靠度越高；在产生较大位移时，ξ越大对应位移的可靠度越高。

表4为不同隔震层阻尼比ξ下隔震结构的体系可靠度。当ξ为5%时，隔震结构的体系可靠度最低为

0.891 5，当ξ为25%时，隔震结构的体系可靠度最高为0.984 4。说明增大隔震层阻尼比ξ能显著控制隔震层层间位移的极值，并且提高隔震结构的体系可靠度，但一味地增大ξ并不经济，且有可能会使上部结构的可靠度降低。

表4不同阻尼比ξ的隔震结构体系可靠度

Tab.4Systemreliabilityoftheisolatedmodelwithvariedξ

可靠度5%10%15%20%25%隔震层0.893 30.940 20.967 40.978 50.984 4上部结构0.998 00.999 9111体系可靠度0.891 50.940 20.967 40.978 50.984 4

在研究隔震前后等效周期比η的变化对隔震结构位移响应的影响时，其他设计参数保持不变(屈重比取3%、阻尼比取15%，Ⅱ类场地)，η的变化范围为0.25～0.45。图12～图15给出了不同隔震前后周期比η下，隔震层与上部结构的层间位移响应极值的概率密度曲线与概率分布曲线。

图12 不同周期比隔震层位移极值概率密度

Fig.12 Probability densities of isolation story displacement extreme with variedη

图13 不同周期比隔震层位移极值概率分布

Fig.13 Probability distributions of isolation story displacement extreme with variedη

图14 不同周期比上部楼层位移极值概率密度

Fig.14 Probability densities of superstructure displacement extreme with variedη

图15 不同周期比上部楼层位移极值概率分布

Fig.15 Probability distributions of superstructure displacement extreme with variedη

从图12和图14可以看到，在隔震前后周期比η的变化过程中，当η为0.25时，隔震层层间位移极值的概率密度分布在较广的范围内，出现较大位移的概率增大且在178.7 mm处的概率最大；当ξ为0.45时，隔震层层间位移极值的概率密度分布在较小的范围内，出现较大位移的概率减小且在101.2 mm处的概率最大。上部结构层间位移极值的概率密度分布随η的变化规律与隔震层刚好相反：当η为0.45时，上部结构层间位移极值的概率密度分布最广，且在13.5 mm处概率最大；而当η为0.25时，上部结构层间位移极值的概率密度分布范围减小，但在4.71 mm处概率最大。

从图13和图15可以看到，隔震层层间位移极值的概率分布函数随着η的变大越来越偏于安全。上部结构层间位移极值的概率分布函数的变化规律则与隔震层刚好相反，η越小对应位移的可靠度越高。

表5为隔震前后周期比η下隔震结构的体系可靠度。显然，隔震层与上部结构可靠度变化规律相反。当η为0.35时，隔震结构体系可靠度最高为0.990 3。

隔震层屈重比ζ在隔震结构的设计中也是一个关键参数，其变化对隔震结构的位移响应规律尚不了解。在研究过程中，其他设计参数保持不变(周期比取0.30、阻尼比取15%，Ⅱ类场地)。由于上部结构重量不变，通过改变隔震层的屈服力来改变ζ的取值范围。ζ的变化范围取为1%～5%。图16～图19给出了不同屈重比ζ的变化情况下，隔震层与上部结构的层间位移响应极值的概率密度曲线与概率分布曲线。

表5不同周期比η的隔震结构体系可靠度

Tab.5Systemreliabilityoftheisolatedmodelwithvariedη

可靠度25%30%35%40%45%隔震层0.967 40.990 10.997 30.998 80.999 7上部结构10.999 60.992 90.969 50.869 6体系可靠度0.967 40.989 70.990 30.968 30.869 3

图16 不同屈重比隔震层位移极值概率密度

Fig.16 Probability densities of isolation story displacement extreme with variedζ

图17 不同屈重比隔震层位移极值概率分布

Fig.17 Probability distributions of isolation story displacement extreme with variedζ

图18 不同屈重比上部楼层位移极值概率密度

Fig.18 Probability densities of superstructure displacement extreme with variedζ

图19 不同屈重比上部楼层位移极值概率分布

Fig.19 Probability distributions of superstructure displacement extreme with variedζ

从图16和图18可以看出，当ζ为1%时，隔震层层间位移极值的概率密度分布在较广的范围内，出现较大位移的概率增大且在231.9 mm处的概率最大；当ξ为5%时，隔震层层间位移极值的概率密度分布在较小的范围内，出现较大位移的概率减小且在139.9 mm处的概率最大。上部结构层间位移极值的概率密度分布范围随ζ的增大变化不大，当ζ为1%时，上部结构层间位移极值的概率密度分布范围在较小位移区域，且在4.91 mm处概率最大；而当ζ为5%时，上部结构层间位移极值的概率密度分布范围在较大位移区域，在6.74 mm处概率最大。

从图17和图19可以看到，隔震层层间位移极值的概率分布函数随着ζ的变大越来越偏于安全。上部结构层间位移极值的概率分布函数的变化规律则与隔震层刚好相反，ζ越小对应位移的可靠度越高。

表6为隔震结构屈重比ζ下隔震结构的体系可靠度。由于上部结构的位移限值较大，而其概率分布变化在较小的位移区域内，所以上部结构的可靠度接近于1.0。当η为5%时，隔震结构体系可靠度最高为0.990 9。

表6不同屈重比ζ的隔震结构体系可靠度

Tab.6Systemreliabilityoftheisolatedmodelwithvariedζ

可靠度1%2%3%4%5%隔震层0.918 30.967 40.978 70.985 20.990 9上部结构11111体系可靠度0.918 30.967 40.978 70.985 20.990 9

4 结 论

本文在概率密度演化理论的基础上，通过积分得到隔震结构各层层间位移极值的概率分布函数，基于极值分布理论计算了结构的动力可靠度，研究了隔震结构在场地条件、隔震层的阻尼比ξ，隔震前后的周期比η和屈重比ζ这四个不同设计参数下的层间位移响应极值的概率分布规律与整体可靠度，主要得出以下结论：

(1) 尽管输入地震动峰值相同，但其的频谱成分对隔震结构的地震响应影响很大。Ⅰ类场地条件下生成的地震动高频成分较多，隔震层与上部结构层间位移的概率密度分布在较小的位移区域内；随着土体变软，生成的地震动长周期成分较多，隔震层与上部结构层间位移极值的概率密度分布在越广的位移范围内，出现较大位移的概率增大，其相应的体系可靠度也降低(Ⅳ类场条件下最低)。

(2) 随着隔震层阻尼比的增大，隔震结构体系可靠度提高，但一味地增大隔震层阻尼比并不经济，且有可能降低上部结构的可靠度，因此隔震层阻尼比取15%～20%较为合理。

(3) 隔震层层间位移极值的概率分布函数随着周期比的变大越来越偏于安全，上部结构相应的变化规律则与隔震层刚好相反，周期比越小对应位移的可靠度越高，隔震结构周期比小于0.4时，上部结构位移响应在可控范围内，隔震结构具有较高的体系可靠度，且周期比在0.30～0.35时隔震结构体系可靠度最高。

(4) 屈重比的增大提高了隔震结构的耗能能力，随着屈重比的变大，隔震层的可靠度水平在增加。而对上部结构而言，屈重比越小对应位移的可靠度越高。

(5) 基于概率密度演化理论分析隔震结构动力可靠度的方法，可以获得充分的概率信息，是隔震结构可靠度分析的一种精细化的有效途径。