构造法在中学数学中的应用

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。下面按构造对象的不同将构造方法分成六类分别予以举例说明。

1.构造辅助数与式

在求解某些数学问题时，利用矛盾的对立统一性，充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数或式，来架设解题的通道。

例1. a，b正数满足 a3+b3=2，求证：a+b≤2.

分析：条件式中次数是3次，而结论式中是1次，所以需要降幂。

又结论式是不等式，当且仅当时成立。于是考虑构造均值不等式。

解 由均值不等式得：

（1） （2）

由（1）+（2）变形整理得：.

2.构造函数

在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始終“盯住”要证、要解的目标。

例2 证明：如果，那么.

证明 构造函数

易证在R上是奇函数且单调递增

∵

即：

又∵是增函数即.

3.构造方程

方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解。构造方程是初等代数的基本方法之一。如列方程解应用题，求动点的轨迹方程等即属此法。

对于较复杂的问题，就需根据条件进行框架的设计。为了运用判别式证明不等式，就需构思一个“一元二次方程” 框架。

例3. 已知，求证：

分析：设法构造一个一元二次方程，使以其系数或常数项的面目出现，再由得到不等式.

设， 易证，再求得

则就是方程的两个实根，由.

4.构造数列

在处理与自然数n有关的数学问题时，根据题目所提供的特征，通过替换、设想等构造出一个与欲解（证）问题有关的数列（数组），并对该数列（数组）的特征进行分析，常可获得解题的途径。如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解。

对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决.

例4. 求证： .

分析：构造数列模型 ，

则有

=，所以数列为递增数列.

又因，故 （其中n N+），即原不等式得证.

评注 欲证含有与自然数n有关的和的不等式，可以构造数列模型，只需证明数列是单调递增，且.另外，本题也可以用数学归纳法证明，但用构造数列模型证明简洁.

5.构造几何图形（体）

如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形。

例5.求函数的值域

解析：

其几何意义是平面内动点到两定点和的距离之和。为求其值域只要求其最值即可，易知当三点共线（P即在线段MN上）时，f（x）取得最小值，，无最大值，故得函数的值域为.

6.构造函数模型，解决数学实际问题

在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。再利用有关数学知识，解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践能力。

例6 [9]某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。按要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

解；设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品（50-x）件，由题意得：

解得：∵x是正整数

∴x=30或31或32

∴有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品31件，生产A种产品19件；③生产种产品32件，生产B种产品18件。

从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，它体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法，构造法解题重在“构造”。它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。

因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。运用构造法解数学题可从中欣赏到数学之美，感受到解题之乐，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。

作者简介：于兆海（1986—），男，汉族，山东临朐人，菏泽学院学士，寿光市明珠小学，数学教师。