例谈高中数学运算素养的提升策略

王琼琼　徐建新

摘 要 运算素养是在运算能力基础上提出更高要求，应该包括运算能力、运算意识、运算品质、运算态度等。为了避免训练的盲目性和教条性，本文结合具体题目，谈一谈如何在学习过程中落实运算素养。

关键词 高中；数学运算；素养；提升策略

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）07-0183-02

《普通高中数学课程标准2011版》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”；《普通高中数学课程标准2017版》提出：“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等”。

笔者认为，运算素养是在运算能力基础上提出更高要求，应该包括运算能力、运算意识、运算品质、运算态度等。

章建跃曾经提到运算素养的基本要求是：“会算而且知道怎么样算的更快更准”，还提出必须强调运算的“技术成分”。“技术”问题的提升唯有反复训练，为了避免训练的盲目性和教条性，本文结合具体题目，谈一谈如何在学习过程中落实运算素养。

例题展示：

例1：已知函数 且 是 的一个极值点。

（Ⅰ）讨论函数 在 的单调性；

（Ⅱ）若 ， ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。

例2：（2013年全国卷Ⅱ.理21）已知函数

（Ⅰ）设 是 的极值点，求 ，并讨论 的单调性；

（Ⅱ）当 时，证明 。

1.关注定义域，强化成意识。首先养成写出函数定义域的习惯，即使函数的定义域为R，也最好写出，这并不是画蛇添足，而是强化“考虑定义域”成为“意识”的一部分，因为“意识”会让人“自动”、“第一时间”地关注定义域。如例1的已知条件对自变量的范围进行了限制；例2含有对数函数，函数本身隐含了对定义域的限制，若没有考虑定义域，单调性的讨论将变得没有意义。

2.因式分解成习惯，运算化简有方向。导数作为研究函数性质的工具，必须让学生明白“求完导后要做什么”。受到三次函数求解经验的影响，有部分学生形成了求导后就直接解不等式的思维定势。由于导函数通常不是二次函数，最终因为式子结构复杂而影响了解题的推进。

求导后首先要进行整理，需要利用通分、提公因式、因式分解等方法，将一些复杂的代数式化为若干个因式的乘积和商的形式；其次，研究 的根，因为导函数的零点会将定义域分解为若干个区间，然后可以逐一判断各个区间内导函数的符号。

如例1（Ⅱ）中由“当 时， 恒成立”但可转化为“对 时， 恒成立”。令 ，若没有化简直接求导得 ，接下来将变得无法求解.观察 式子结构的特点，会发现有公因式 ，从而可得 ，又因为 可转化为“当 时， 恒成立的问题”。这个例子告诉我们不是所有的函数直接求导就能解决问题，化简是在求定义域后要关注的第二件事。

3.常量与变量，比较要分明。含参函数的单调性是导数的重要考点，学生也对分类讨论的标准源自何处，往往不明确，尽管反复地讲练，效果依然不好，究其原因在于学生对“变量内涵”的考虑不全面。分类讨论首先要关注变量自身的取值要求，其次考虑它与其它常量或变量的大小关系。

如例1（Ⅰ）易得 ，其导函数 ，常见的错误之一是直接由 得到“ 和 ”，默认“ ”，忽略了“ ”；另一种错误是没有比较“ 和 的大小”及“ 与端點1的大小”。

大小的比较可以通过作差找到分点，即由 与 得到 和 。因此 的取值范围可分为 ， ， ；另一种比较直观的方法，是对比 与区间 的关系，即：

若 时， ，当 时， ，则 在 上单调递增；若 时， ，当 ， ；当 ， ，所以 在 上递减，在 上递增；

若 时 ，当 时， ，得 ，所以 在 上单调递减。

4.弄清主元，运算求解不混淆。从算术到代数，最主要的特征就是字母（变量）的引入，在计算中不只是数与数的计算，更多是参变量之间的运算，当有多个字母或变量时，要注意谁就主元，利用主元的思想进行降维、消元的作用。

如例2（Ⅱ）当 时，要证明 ，学生通常会直接构造函数 ，求得导函数 ，由于含有参数 ，从而无法利用导数研究函数的性质，求出 的最小值。面对这样的情况时，学生就应当及时反思，运用主元的思想，以其中一个变量为主元，从而达到消元的目的。即要证 ，只需证 ，若以 为主元， 为常量，只需求出当时 的最大值。因为 时， 单调递增，所以 ，即只需证明 ，从而构造函数 。

5.试根与估算，实虚相结合。虽然求导后常需要“求零点”，但零点时常不易求，这就要求学生学会试根与估算。

如例2（Ⅰ）易得 ，若令导函数 ，虽无法直接求根，但容易观察出 ，然后结合函数的单调性说明根的唯一性。

例2（Ⅱ）所构造的函数 ，若令其导函数 ，发现无法解方程，也无法观察出其特殊的根，这时可利用零点存在定理寻找根所在的大致区间。函数 在 上单调递增，又由 ， ，可知 在 上有唯一的零点 ，且 。所以当 时， ；当 时， 。于是 在 处取得最小值。此处采用虚设零点的方式，用 表示这个无法确定但又存在的点。

6.数形结合来帮忙，运算求解更直观。“数缺形时少直观”，压轴题中所给的函数，时常不是基本初等函数，学生因无法直接画出图象而影响了解题思路的推进，因此要求学生不但要常握基础初等函数的图象，也要能画出 ， ， 及 这几个常见函数的图象。

总之，要提升学生的运算素养，首先要改变高中教学过程中“重思维，轻运算”的现状，学会运算也将学会思考；其次，要将运算素养的培养落实到教学环节中，对常见题型的运算方向进行总结，形成规范化思考问题的品质；最后，学会运算后的反思和自查，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

基金项目：本文是福建省“十三五”第一批中学数学学科教学带头人培养对象科研课题《提升高中生数学运算素养的教学实践研究》（立项批准号：DTRSX2017025）的阶段性成果。

参考文献：

[1]沈剑华.计算数学基础[M].同济大学出版社，1989.