特殊化策略在高考选择题中的应用

摘要：“特殊化策略”是众多数学解题策略中的一种，也是应用较多的一种。特殊化的作用就是对一个复杂或多元化的问题进行特殊化甚至极端化的处理，然后通过处理这个特殊化或极端化的问题得到最终问题的答案。本文旨在通过特殊化解题策略的主要思想、基本原则以及具体应用，探讨分析特殊化解题策略在高考选择题中的应用。

关键词：特殊化策略；解题策略；数学解题；特殊化

一、 主要思想

想要有效的利用特殊化策略解决数学问题，就必须明白“特殊化”这一解题策略的主要思想。特殊化策略即视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决策略。特殊化策略是一种以退为进的策略，正如华罗庚先生认为的；善于退，足够的退，一直退到原始而不失重要性的地方，是学习数学的一个诀窍。波利亚也曾说过：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅一个对象。”因此我们总结出特殊化策略的主要思想，概括来说就是八个字“以退为进，化繁为简”。其目的是在一定的限制条件或者范围内以最简单的方式解决最复杂的问题。

二、 基本原则

在解决数学问题的过程中，对于特殊化解题策略的运用并不是盲目的。虽然每个数学问题都有其特殊性，但并不是任何的数学问题都可以用特殊化策略来解决，特殊化策略的运用也需要满足一定的限制条件或范围。因此在运用特殊化策略解决问题时需遵循以下两条基本原则：（1）若命题在一般条件下成立，则它必在特殊条件下也成立；（2）若命题在特殊条件下不成立，则它在一般条件下也必不成立。

三、 具体应用

众所周知选择题在高考试卷中所占的比重是非常之大的，因此如何高效且準确地拿下选择题的分数是目前很多高考生所要面临的问题。特殊化策略在帮助学生解决高考选择题时能起到很大的作用。下面我将通过几道例题来展示特殊化策略相对于传统解题方式对于学生解题的重要性。并通过对比两种解题方式简单程度探讨特殊化解题策略的有效性。

【例1】（2017年全国卷Ⅰ）函数f（x）在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数，若f（1）=-1，则满足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范围是（）

A. [-2，2]B. [-1，1]C. [0，4]D. [1，3]

传统解法：因为f（x）为奇函数，所以f（-1）=-f（1）=1，所以-1≤f（x-2）≤1就等价于f（1）≤f（x-2）≤f（-1），又因为f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以-1≤x-2≤1，所以1≤x≤3。故选D。

特殊化策略解题：因为函数f（x）为奇函数，且f（1）=-1。所以我们假设奇函数为f（x）=-x，所以解-1≤f（x-2）≤1就等价于-1≤-（x-2）≤1，解得1≤x≤3。故选D。

分析：传统解法主要是利用函数左右两侧的单调性相同，并根据奇函数的性质得出f（-1）=1，然后在利用单调性求解-1≤f（x-2）≤1。而特殊化策略则是假定奇函数为f（x）=-x，然后通过f（x-2）=-（x-2）直接解不等式-1≤f（x-2）≤1。因此我们可以看到在这道选择题中，特殊化策略是直接通过一个假定的奇函数去求解不等式。而传统解法则是通过奇函数性质及其单调性去求解。相对于传统解法来看，特殊化策略更简单快速，并且对于那些对奇函数单调性不是很理解的学生，特殊化策略就显得更加容易把握。

【例2】（2017全国卷Ⅱ）设几何A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}，若A∩B={1}，则B=（）

A. {1，-3}B. {1，0}C. {1，3}D. {1，5}

传统解法：因为A∩B={1}，所以1是方程x2-4x+m=0的一个根，代入解得m=3，所以B={x|x2-4x+3=0}，故B={1，3}。

特殊化策略解法：据题意可知集合B中的元素一定是方程x2-4x+m=0的根，所以韦达定理可知x1+x2=4，只有选项C符合，因此选C。

分析：这道题目相对来说比较简单，没有很复杂的算式。传统解法是根据两个集合的交集先去求出方程，然后通过解方程的根得到集合B的元素。而特殊化策略则是根据韦达定理判断出方程两个根的和为4，从而直接排除了其他三个错误的选项。虽然这道题并没有很复杂的计算，但是我们还是可以看到，特殊化策略相对于传统解法来说还是省略一些解题步骤。并且没有用到全部的已知条件，直接依据方程的两根之和就得出了答案。因此可以看出特殊化策略在解题过程中具有高效的特点。

【例3】（2017全国卷Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB+PC）的最小值是（）

A. -2B. -32C. -43D. -1

传统解法：如图所示建立坐标系

连接PA，PB，PC，PO，点的坐标分别A（0，3），B（-1，0），C（1，0），P（x，y），O（0，0），

所以OA=（0，3），OB=（-1，0），OC=（1，0），OP=（x，y）。因为PB+PC=2PO，所以原式PA·（PB+PC）就等价于PA·2PO。因为PA·PO=（-x，3-y）·（-x，-y），所以PA·PO=x2+y2-3y=x2+y-322-34，所以PA·PO≥-34，所以PA·2PO≥-32，

所以PA·（PB+PC）≥-32，故选B。

特殊化策略解法：因为PC+PB=2PO，所以PA·（PB+PC）=2PA·PO=（PA+PO）2-（PA-PO）22，又因为PA-PO=OA，

所以原式等于（PA+PO）2-（OA）22，因为（OA）2=3，且（PA+PO）2≥0，

所以PA·（PB+PC）=2PA·PO=（PA+PO）2-（PA-PO）22=（PA+PO）2-（OA）22≥-32，

因此，PA·（PB+PC）≥-32，故选B。

分析：两种解法都需要画图，传统解法是通过坐标系各个向量的数据一步一步得出了所求向量积的有关方程，然后再通过配方的方式把方程配成完全平方的结构，从而得出所求向量积的最小值。而特殊化策略则是反其道行之，从要求的向量积入手，把它也配凑成一个完全平方的结构，然后再直接判断其最小值。从运算量来看，传统解法需要各个向量的坐标，并且所得出的方程还需要配方，因此运算量较大。而用特殊化策略解题则省去很多不必要的步骤，直接通过对向量配方就可以得出其结果。

四、 讨论

（一） 特殊化策略在选择题中的作用优于其他题型

选择题相对于其他题型来说，更看重的是“结果”，它不需要写出复杂的解题步骤和运算过程。在就像例题3一样，传统的解题方式需要进行很多的运算，而特殊化策略则省去了很多的步骤。虽然说两种方式都能得到正确的答案，但特殊化策略相对来说会节约很多的时间。在高考中能否快速准确的解决选择题，是决定成绩的关键。后面的答题需要很大的运算量，因此就需要大量的时间，而这些时间只能从选择题或填空题中节约出来，如果在选择题上浪费大量时间，就会导致后面的答题缺乏时间。但如果能够更多地运用特殊化策略解决选择题，就会更多的节约时间，并能有效地减少运算错误，进而达到高效准确的效果。

（二） 特殊化策略相对其他解题策略更适合于基础较差的学生

就像前面所说的：特殊化是一种“以退为进，化繁为简”的解题方式，它对于基础相对较差的学生来说可以说是一条解题的“捷径”。有时候在碰到一些复杂的数学问题的时候，往往大多数基础较差的学生对于这种需要庞大的运算并且需要大量的基础知识的时候，通常会束手无策，但如果能够找到它的特殊情况，基础较差的学生就能轻易地解决这个问题。就比如说：在做选择题的时候，很多学生不会做时，往往会把答案带进去运算一下，从而得到正确的选项。这也可以说是特殊化策略的一种。因此特殊化策略相对于其他解题策略来说，是更适合于基础较差的学生的。

（三） 特殊化策略并不适用于任何题型

对于特殊化策略的，学生应该以一种正确的学习态度去使用，而不是为了投机取巧。无论碰到任何题型都用特殊化策略去解决。在前面也提到过，特殊化策略的运用需要在一定的限制范围或条件下。举个很简单的例子，任何人都不能用特殊化策略去完成一整张试卷，因为不是每个题目都会有其特殊情况。所以说对于用特殊化策略解题需要持以一种正确的态度去运用。在运用特殊化策略解题的时候往往需要视情况而定。

参考文献：

[1]曾建国.数学解题策略选讲[M].哈尔滨工业大学出版社，2011.

[2]宋文檀.特殊化方法與数学解题[J].榆林学院学报，2000（4）：74-76.

作者简介：

程紫成，江西省赣州市，赣南师范大学数学与计算机科学学院。