自然数的压缩与分解

游礼星

【摘要】自然数数量庞大，无穷无尽，这是数论研究中一个棘手的问题.但如果能化无限为有尽，化复杂为简单，那么将会有非常奇妙的结果.本文根据自然数的性质、特点，把自然数压缩成几种类型，虽然压缩后的几类数与自然数在外在方面差别巨大，但却保留了自然数本质方面的特点.对这几类数，同样可以做加、减、乘、除等方面的运算，从而更方便地对自然数进行分析，把握自然数更多的内在本质、规律，解决数论中的一些问题.

【关键词】自然数；压缩；分解

分类号：数学笔者偶然产生了压缩自然数的想法：饼干能压缩，压缩后的饼干量并不减少，而饼干的质量也未改变.如果能像压缩饼干似的把自然数进行压缩，那么或许能产生奇妙的效果.

一、数的压缩的含义

所有的自然数都可以压缩成以下十种类型：1s，2s（我们把任一自然数的各位数字相加，然后把得到的数值的各位数字再次相加，如此反复，最终得到的结果必然是0，1，我们把这样的过程叫作数的压缩，其中8，9是初级压缩的核心数，1s，2s为压缩结果）如7 864 391的各位数字相加和为38，再把38两位数字相加和为11，再把11两位数字相加和为2，则压缩成的核心数为11，其为90n+11.以上为一级压缩，有时为了不同的运算目的，我们还可以做更细的压缩，如二级压缩，三级压缩等.压缩的形式还可以有其他的类型，比如，跳跃式压缩，综合压缩等，需要我们更进一步的研究.压缩的核心数越大，与被压缩数各方面的属性越接近.

二、数的压缩的运算方法

示例：254 198+419 053=2s+4s=6s（为了压缩方便可采用合九归零的方法，以提高压缩的速度，一级二级三级压缩等相类似数相加，核心数也相加）.

（1）以下为初级压缩的数的和的部分运算法则：1s+1s=2s；1s+2s=3s；1s+3s=4s；1s+4s=5s；1s+5s=6s；1s+6s=7s；1s+7s=8s；1s+8s=9s；1s+9s=1s.（2）以下为初级压缩的数的差的部分运算法则：（当被减数大于减数时，适合以下法则，否则结果不同）1s-1s=9s；1s-2s=8s；1s-3s=7s；1s-4s=6s；1s-5s=5s；1s-6s=4s；1s-7s=3s；1s-8s=2s；1s-9s=1s.（3）以下为初级压缩的数的积的部分运算法则：1s×1s=1s；1s×2s=2s；1s×3s=3s；1s×4s=4s；1s×5s=5s；1s×6s=6s；1s×7s=7s；1s×8s=8s；1s×9s=9s.（4）以下为初级压缩的数的商的运算法则：（因下文未涉及，故此处略）（5）以下为初级压缩的数的乘方的运算法则表：1ns=1s；26n+1s=2s；26n+2s=4s；26n+3s=8s；26n+4s=7s；26n+5s=5s；26ns=1s；31s=3s；3ns=9s；43ns=1s；43n+1s=4s；43n+2s=7s；56n+1s=5s；56n+2=7s；56n+3s=8s；56n+4s=4s；56n+5s=2s；56ns=1s；61s=6s；3ns=9s；73ns=1s；73n+1s=7s；43n+2s=4s；82ns=1s；82n+1s=8s；9ns=9s.數的乘方的压缩的运算法则：数的乘方是自然数中特殊的一种类型，它的一级二级三级等运算法则也有特殊的地方，即它们的压缩值除了有上面初级压缩的数的乘方的变化外，它们的核心数也发生变化，它们的核心数为原核心数的相应次方.

三、数的压缩原理的应用

1.以下试图用数的压缩的原理证明费马尔猜想（由于论题太大，本文只证明某些类的数符合费马尔猜想的要求）证明xn+yn=gn只要证明以下不等式成立即可.以下一些形式有相似的特点，我们先证明其中一种：（1）证明不成立，即不可能等于任何正整数的相应次方.当k不为零时，6k+3为合数，因前人早已证明，当n为合数时，xn+yn=gn不成立，故16k+2s+26k+2s也不可能为任何数的相应次方.6k+4为合数，当n不为1时，没有任何数的相应次方为6s，综合以上分析，可知不等于任何数的相应次方.与情况相近，也可以很容易地得到证明，这里不再赘述.（2）证明1ns+9ns=gns不成立.其压缩值为1s，而这些n皆为合数，所以才可能成立.展开后得：上式中，右边有因数9，而左边各项至少有92，因此，k2-k不含有9的因数时，上式肯定不成立；而当k2-k含有9n时，左边各项也同时多了9n，上式自然也不成立.所以不可能成立.这些类型相似，它们也可用相似的方法证明.剩下的数字等形式要使用二级压缩或三级压缩的方法，过程繁杂，这里就不说了.

2.用自然数压缩的原理简化素数判断的步骤：（1）用一级压缩和二级压缩相结合的方法简化素数判断的步骤，下面随手写一个数字：3 048 571，要判断这个数是素数还是合数，我们现有的做法是要找出小于这个数的所有素数，然后用这些素数分别去除这个数，都不能整除的才是素数.而用自然数压缩的原理则需要验证的素数量将大大减小.上面这个数压缩后为1s，个位数为1，我们先假设它为合数，则它可能至少属于以下几种情形之一（以下是分别用一级和二级压缩的方法）：我们在验证是否具有以上的因数时，验证了（90m+73）这一类后，就无须验证（90n+37）；验证了（90m+61）这一类后，也无须验证（90n+31）；验证了（90m+43）这一类后，也无须验证（90n+67）……也因此，我们可以少验证近一半的数.（2）用三级压缩的方法简化素数判断的步骤以上采用的是二级压缩的方法，如果改用三级压缩的方法，验证的数将更进一步减少.在3 048 571中，个位是1，十位是7，我们先判断出是什么样的两个两位数相乘的值的最小两位数是71，我们先来看，个位数不变，十位数有一百种不同的组合变化，而最小两位数是71的三级压缩式有以下十种：经过三级压缩后分析，可知形如（90m+73）（90n+37）的数的验证只有这10种十位数是7，其他90种的十位数不是7.因此，就可以排除了.如果要判断一个巨大的数，我们采用四级压缩，或五级压缩等方式，则验证的数的量可相应大大地减少.如果把这种方法运用到筛法中，那么可有效地改进筛法.

3.用自然数压缩的原理分解合数：我把下文所讲的分解合数的方法称为“剥笋壳法”，这个数二级压缩分解式的个位是3与7，这是剥的第一层“笋壳”；上文已分析过，3 048 571如果是合数，那么这个数的三级压缩分解式有十种类型，我们剥第二层“笋壳”就是要弄清其十位数的情况.（2）式中33 843中的个位数3是由37m中的m及个位数7和73n中的n及个位数3共同决定的，与90mn无关.则由（1）整理得：从（2）知mn应小于4，77这两位数是由27m+73n决定的.当m=0时，73n=3377无整数解；当m=1时，n只有等于50时，27m+73n的个位和十位等于77；当m=2时，n只有等于51时，27m+73n的个位和十位等于77；当m=3时，n只有等于52时，个位和十位等于77；当n=0时，127m=3377无整数解；当n=1时，m只有等于52时，27m+73n的个位和十位等于77；当n=2时，m只有等于53时，27m+73n的个位和十位等于77；当n=3时，m只有等于54时，27m+73n的个位和十位等于77；综合以上分析，几种个位和十位等于77的类型中，mn都大于4，因此，可知相关的因数.（因篇幅限制，本文未能完整的表现合数判断的全过程，但其他判断过程的方法与上文相似，故略）

由于自然数的一个功能是描述有限集合的元素个数，即有限集合的基数，而空集很自然地归类于有限集，它的基数理所当然地用0来表示.如果0不算自然数，那么自然数就不能承担起描述有限集合的基数的任务.因此，增加0作自然数就很有必要了.但是我们还必须考虑，把0作为自然数，会不会影响自然数的其他三个功能？自然数集合的一个重要特点是一个有序集合，即所有自然数可以按顺序排列起来，正是这一性质使自然数具有序数功能.很明显，在自然数的最前面增加一个0不影响自然数的有序性.把皮亚诺公理中的1换成0，对这组公理也没有影响，所以增加0以后，自然数的序数功能不会受到任何影响.数学学习最为重要的根本就是明确数学学习的目标.自然数的学习是数学当中的根本所在，教师在教学当中除了要传授给学生必要的知识，培养学生的数学能力以外，还需要重视起教学目标的确定，让学生能够对数学产生较高的兴趣，促使他们对数学能够始终抱有正确的印象.当前阶段的自然数教学，首先学习的是1～5的自然数，然后学习相应的加减法，然后学习6～10的数字以及10以内的加减法……这样的教学内容必然是比较枯燥的，会导致学生对数学产生一种不良的认识，认为数学就是按照規定来计算的内容，从而影响他们的学习兴趣和积极性.如果教师能够在这部分的学习当中积极地利用各种数学材料并创新教学方法，那么能让学生对此产生更加积极的认识，并主动地融入其中，对于达到积极的教学效果具有重要的意义.在对幼儿进行蒙台梭利教学法的实施当中，当儿童成长到5岁以后，教师就会让他们在纸条上写上数字：1，2，3，….但是当孩子们写到1 000多以后开始发现，这就是数学，就是这样的继续下去.对于人类来说这样的形式就是最为简单的数学，也是最为深奥的数学，是无限的.从这方面可以看出，写数或者数数是自然数列当中最为简单而有效的方法，这样的方法同时也是教学当中学生比较容易做到的.而孩子们不愿意继续写下去是因为他们发现了当中的奥秘，已经掌握了自然数的计数方法，认为没有必要继续进行下去的，因为这会无穷无尽，是一件无限的事情.因此，在刚开始学习数学的时候人们都会产生一种数学印象，就是数学是有规律的，当中有着很深的奥秘，是需要不断探索和发现的新领域.这样的印象将会促使学生产生强烈的探索欲望，这样的教学也可以说是比较理想的.此外，观察能力的培养对于数学的基本能力训练来说也是非常重要的，在数学思维当中观察占有重要的地位，并且其起到的作用也是不可替代的.年龄越小的孩子越是对观察的事物感兴趣，而对于一些机械性的计算却不感兴趣.这就证明了观察能力的重要性.因此，在教育当中应当从儿童入学开始就有计划地培养儿童的数学观察能力，为他们的数学认识奠定基础.自然数的分解是在数的压缩的基础上进一步研究自然数的性质、特点，其目的在判断各个自然数有无因数，寻找、判断素数.

四、结 论

本文探讨的是非筛法素数判定法，如果是合数，那么能找出它的因数.我也知道，学界早有目前情况下素数判定不可能的说法，但我想用自然数压缩的原理来研讨自然数或许会有意外的收获，利用数的压缩的原理研究筛法，也会有可喜的发现.

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