浅谈向量与高中数学几大内容主线的联系

2018-08-21张星瑞

求知导刊 2018年7期

张星瑞

摘要：向量与高中数学六大主线中的函数主线、运算主线、几何主线有着密切的联系，函数的运算、几何中某些量的求解可以转化为向量问题解决，向量拓展了运算的对象和性质。同时，向量作为一个集数与形于一体的概念有其特殊性，这也是向量渗透于高中数学方方面面的原因。

关键词：向量;高中数学主线;运算拓展;数形结合

中图分类号：G632.3;G633.6

文献标识码：A

一、简述向量与几大内容主线的联系

1.向量与函数主线的联系

一些函数的最值问题，比如涉及多个二次根式相加减求最值的问题，用函数的方法求解往往过程过于复杂、计算量庞大，而我们运用关于向量模的不等式，可以巧妙地化简原有的函数，从而非常简便地求出其最值。我们在一类特殊的函数——三角函数的学习过程中，也能发现其与向量有着不可分割的联系。比如，我们在利用单位圆研究三角函数的几何意义时，就会用平面向量去表示三角函数，而且我们所熟知的部分诱导公式也是运用向量的相关知识推导出来的。

2.向量与运算主线的联系

运算及其规律是贯穿中学数学内容始终的最基本的代数学研究对象。从小学开始，学生所掌握的运算对象不断地拓展，如从整数到分数，从有理数到实数，等等。而从数运算到向量运算的拓展，对中学生而言，可谓是他们所掌握的运算对象的一次飞跃，可以极大地提高学生针对数学运算的理解层次。向量可以进行包括加减、数乘在内的多种运算，并且其中的一些性质是普通的数的运算所不具备的。所以可以说，一方面，向量既拓展了运算的对象，又拓展了运算的性质。另一方面，在解析几何、平面几何中，向量运算既有代数意义又有几何意义，使用向量运算能够体现数形结合等许多數学的核心思想。

3.向量与几何主线的联系

向量在平面几何、空间几何与解析几何中均有着极为重要的运用。使用向量解决立体几何中的许多问题，可以极大地简化原问题，降低计算量。比如在解决空间直线和平面的关系中，判断空间中一条直线与一个平面的位置关系是相交、平行还是包含等问题，运用空间几何中的性质计算非常复杂，超出了中学生的能力范围。但我们可以建立空间直角坐标系，将题中直线及与平面垂直的直线用向量表示出来，通过向量的运算判断这两个向量的位置关系，求出它们的夹角，从而得出原直线与平面的位置关系、夹角等。这一方法比传统的运用几何性质求解的方法简便许多，而且这一方法有法则可循，可以适用于各种不同的情况，具有普适性。

此外，向量与平面解析几何中关于直线的部分有着天然的联系，因为向量是有向线段，本身就是直线上的一段。比如平面直角坐标系中的两点距离，就是以这两个点分别为起点和终点的向量的模长。