薄壁型方管立柱局部稳定性分析

何帆，于家洋，田常录

(1.江南大学 机械工程学院，江苏 无锡 214122；2阜新市科技局，辽宁 阜新 123000)

0 引言

随着国民经济的蓬勃发展，各类工程建设项目、重大工程项目越来越多，包括高耸结构、大跨距结构，超高层建筑也日益增多，因此擦窗机的需求数量也直线上升，主要应用于高层建筑物外墙清洗、维护和装修[1-2]。由于建筑物层数的增多和结构的复杂性，也带来了擦窗机在作业过程中的复杂性和安全性问题。因此为使擦窗机作业的正常进行，对擦窗机的基础支撑部件—薄壁型方管立柱进行局部稳定性分析具有重要的意义。

1 薄板小挠度屈曲理论

根据弹性力学薄板稳定性理论可知，在纵向载荷Nx、Ny、Nxy作用下薄板的屈曲微分方程为[3]：

(1)

设一矩形薄板长为a，宽为b，厚度为t，薄板的两对边

为简支边，另外两对边为任意边，在两简支边上承受均匀压力，单位长度上的压力为px，如图1所示。

图1 简支薄板受力图

由式(1)得，该单向受压矩形板的屈曲稳定微分方程为：

(2)

取矩形板的位移函数为：

(3)

式中：m表示薄板屈曲以后沿x方向的正弦半波数目，Ym(y)为y的待求函数。

将式(3)代入式(2)，并运用三角函数的正交性可得微分方程：

(4)

式(4)的特征方程为：

(5)

除非两纵向边均为自由边，否则式(5)的根总为2个实根和2个虚根[4]，则式(5)的解为：

(6)

则待求函数Ym可写为：

Ym=C1coshαy+C2sinαy+C3cosβy+C4sinβy

(7)

式中：C1、C2、C3和C4为待定常数。

由矩形板y=0和y=b处的4个边界条件，可得到关于C1至C4的一组齐次线性方程组。当薄板被压曲时，C1至C4不可能全都为0，因此只可能是该方程组的系数行列式等于0。令该行列式等于0，即得到px的一个方程(超越方程)。针对不同的正弦半波数目m，解出px，取其最小值，就得到该薄板的临界载荷 (px)c。

2 立柱的局部屈曲分析

薄壁型方管立柱截面尺寸如图2所示。

图2 薄壁型方管立柱截面图

对于薄壁型方管立柱其长度远大于截面的宽度和高度，因此两个加载边的边界条件对立柱翼缘与腹板的稳定性影响不大，因为沿着薄壁型方管立柱长度方向多出现多个半波，对于中间的半波，边界条件的影响几乎可以忽略[5]。因此在研究薄壁型方管立柱屈曲时假设加载边是铰支的，这样薄壁型方管立柱翼缘与腹板的位移函数仍可设为式(3)中的位移函数。

根据薄板稳定理论，将立柱翼缘的坐标原点建立在翼缘的中点处，腹板的坐标原点建立在腹板的中点处，如图3所示。

图3 薄壁型方管立柱受力分析图

由立柱翼缘与腹板屈曲波形的对称性条件，得到立柱翼缘与腹板的位移函数为：

Ymf=C1coshα1y1+C3cosβ1y1；

Ymw=D1coshα2y2+D3cosβ2y2

(8)

(9)

根据箱型截面局部失稳的特点[6]，可知薄壁型方管立柱局部失稳的特点为：1)立柱翼缘与腹板交线处的挠度为0，即交线保持垂直；2)立柱翼缘与腹板交线处两块板的转角连续，即两板之间的夹角保持90°；3)立柱翼缘与腹板具有相同的屈曲波形，且翼缘与腹板的半波数相同。

因此可以得到薄壁型方管立柱局部失稳的边界条件：

Ymf|y1=b/2=0，Ymw|y2=h/2=0；

(10)

式中：b、h分别为擦窗立柱翼缘与腹板的宽度。

设薄壁型方管立柱的临界应力为σcr，则薄壁型方管立柱翼缘与腹板的临界压力可表示为：

pxf=σcrtf，pxw=σcrtw

(11)

式中tf、tw分别为翼缘与腹板的厚度。由式(11)可得翼缘与腹板临界压力的关系为：

(12)

将式(12)代入式(9)中，再将所得到的α1、β1、α2、β2、代入式(8)中，即可得到含有pxw这一未知量的位移函数，再将该位移方程代入式(10)的边界条件中，可得到以待定常数C1、C3、D1、D3为未知量的一组齐次线性方程组。为使待定常数C1、C3、D1、D3不全为0，则该线性方程组的系数行列式需等于0，即可得到如下的临界方程：

(13)

给定薄壁型方管立柱翼缘与腹板厚度tf、tw，截面尺寸(翼缘与腹板的宽度)b、h与立柱的长度a、利用matlab软件进行编程求解，可得到与不同正弦半波数m对应的临界载荷px，取其最小值，即得到薄壁型方管立柱局部屈曲的临界载荷(px)c。

3 算例

以薄壁型方管立柱为研究对象，对其进行局部屈曲计算，其立柱的截面尺寸为：翼缘宽度b=0.58m，腹板宽度h=0.68m，立柱翼缘与腹板厚度tf=tw=0.01m，立柱长度为a=7m。

将上述薄壁型方管立柱尺寸参数代入理论求解公式(9)、式(12)与式(13)中，并利用matlab软件进行编程求解，可得当正弦半波数m=11时px取最小值，则薄壁型方管立柱局部屈曲的临界载荷为(px)c=1.853 1×106N。

4 有限元验证

本节利用有限元分析软件ANSYS[7]对上述尺寸薄壁型方管立柱进行屈曲分析，并与理论结果进行对比，验证理论的可行性。

建立薄壁型方管立柱的有限元模型，并对模型进行屈曲模态分析，提取薄壁型方管立柱一阶屈曲模态，如图4所示。从图中可以看出，薄壁型方管立柱的一阶屈曲为薄壁型方管立柱的板壳发生局部屈曲，其一阶屈曲临界载荷为pcr=1.833 6×106N。对比理论解与有限元所得屈曲临界载荷发现两者误差为1.06%，从而说明理论解的可靠性。

图4 薄壁型方管立柱一阶屈曲模态

5 结语

1) 根据薄板小挠度屈曲理论推导了求薄壁型方管立柱局部屈曲的临界方程。

2) 利用本文的局部屈曲临界方程，可以求出整个立柱的局部屈曲载荷，从而大量减少计算工作量。

3) ANSYS有限元分析的结果表明，在纯轴压载荷下，理论方程的计算结果与有限元验证十分接近；临界方程对工程具有一定的指导意义。