空间欠采样宽带线性调频信号二维DOA估计

冯浩然,

(解放军电子工程学院 雷抗系,合肥 230037)

0 概述

线性调频(Linear Frequency Modulation,LFM)信号是一种典型的非平稳信号,因具有大带宽时宽积的优点,使其在雷达、声呐和通信系统中得到广泛应用。如何快速有效地处理宽带LFM信号并进行高精度的波达方向(Direction of Arrival,DOA)估计,是阵列信号处理领域的热点问题之一。

目前,较宽的工作带宽使得传统的信号处理方法难以满足Nyquist采样定理的要求,更对后期数字处理速度和信息存储能力提出了较大挑战。为解决该问题,有学者提出在欠采样条件下对信号进行参数和DOA估计[1-3]。文献[4]利用经时延的信号与原始信号共轭相乘解线性调频的方法,运用余数定理对多个LFM信号进行方位解模糊,从而实现多LFM信号的高精度DOA估计,但该方法容易受到二次交叉项的干扰,估计精度存在局限性。文献[5]基于分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FRFT),提出在时空欠采样条件下对LFM信号进行分析的方法。由于具有不同时频特性的LFM信号在其对应阶次上具有不同的能量聚集特性,运用FRFT对空间宽带LFM信号的DOA进行相关研究不会受到交叉项的干扰,可以提高估计精度。因此,基于FRFT对宽带LFM信号进行DOA估计,具有较高的研究价值。

作为通信基站中应用广泛的接收天线[6],均匀圆阵(Uniform Circular Array,UCA)可以进行接收信号的全方位测向,而其较高的测量精度并不会因方位角的改变而产生较大的变化。利用UCA可以同时对初始信号的俯仰角和方位角信息进行估计,这是均匀线阵所无法满足的[7]。然而,在UCA半径大于半波长的情况下,信号采样不满足Nyquist采样定理要求,容易产生模糊项,即此时无法高精度估计出信号的初始信息,从而导致算法估计性能下降。

已有文献多采用非均匀阵列进行欠采样估计[8-10],为利用UCA在欠采样条件下实现对宽带LFM信号的高精度二维DOA估计,本文基于UCA的全向特性和FRFT对宽带LFM信号的能量聚集特性,建立阵元个数M>6的UCA阵列模型。经过FRFT变换滤波,利用FRFT谱峰搜索数据进行二维DOA估计,同时,考虑到信号欠采样带来的数据模糊影响,本文采用整数搜索法进行相位解模糊,在此基础上,实现宽带LFM信号二维角信息的高精度无模糊估计。最后,对UCA和非均匀L阵2种阵列形式进行仿真对比,以验证本文方法的性能。

1 FRFT与UCA模型

1.1 FRFT的定义

p阶FRFT相当于信号的Wigner分布在时间-频率平面上逆时针旋转角度α=pπ/2,如图1所示。

图1 FRFT Wigner分布

定义信号x(t)的p阶FRFT为线性积分运算:

(1)

其中,p为FRFT的阶次,Fp[·]为FRFT的算子符号,Kp(t,u)为FRFT的变换核:

Kp(t,u)=

(2)

FRFT是一种线性变换,不会受到交叉项的干扰。由于FRFT对宽带LFM信号具有极好的能量聚集特性,使得具有不同时频特性的宽带LFM信号在其对应阶次上集中于一点,不存在二次型时间-频率分布的选点问题,从而能稳定、快速地分离宽带LFM信号。因此,将FRFT运用到阵列信号处理领域,能够实现对宽带LFM信号初始信息的高精度估计[11]。

1.2 阵列模型构建

图2所示为天线接收阵列UCA示意图,其由M个全向天线构成,天线阵元在圆周上呈均匀分布,阵元半径为r,圆心为接收天线的参考点。

图2 UCA模型

假设有Q个宽带LFM信号入射到该天线阵,则第k个天线阵元的输出为:

sq(t)=ejπ(2fq0t+μqt2)

(4)

εk=2π(k-1)/M

(6)

2 均匀圆阵DOA估计算法

以采样率fs对第q个空间LFM信号sq(t)进行欠采样,得到其离散化值:

sq(n)=ejπ[2fq0(n/fs)+μq(n/fs)2]

(7)

(8)

(9)

Sq(α,m)峰值出现在m=mq0=fq0Nsinαq0/fs,此时,其极大值为:

对于UCA上第k个接收阵元,其接收到的第q个LFM信号输出为:

(11)

从式(11)可以看出,第k个阵元接收到的信号相对参考阵元仅多出一个时延,并未改变其调制斜率,只是初始频率和初始相位发生了改变[13]。对sk,q(t)进行离散化后作FRFT得到Sk,q(α,m),同样,Sk,q(α,m)在α=αq0处表现出最佳的能量聚集特性,峰值出现在mk,q=mq0+fsτk,qcosαq0,此时,其极大值为:

Sk,q(αq0,mk,q)=Aq(τk,q)S(αq0,mq0)

(12)

Aq(τk,q)的计算如下:

对不同天线阵元接收到的同一宽带LFM信号进行FRFT,会在相同的阶次出现比较明显的能量聚集[14-15]。而作为一种线性变换,Q个LFM信号在经过FRFT之后会出现Q个峰值。因此,可以通过选择峰值上的时频点来分离出信号源中具有不同时频特性的LFM信号,从而实现数据模型的简化、计算量和运算复杂度的减小、对硬件的要求和成本的降低。

对第k个天线阵元输出采样并进行离散FRFT:

其第q个信号峰值点(αq0,mk,q)对应:

Xk(αq0,mk,q)=Sk,q(αq0,mk,q)+Nk(αq0,mk,q)+

(15)

然而,经过FRFT后,由于具有不同时频特性的LFM信号在第q个信号峰值点(αq0,mk,q)处有较小的观测值而被视为干扰项,则有:

Xk(αq0,mk,q)=Sk,q(αq0,mk,q)+Nk(αq0,mk,q)=

Aq(τk,q)S(αq0,mq0)+Nk(αq0,mk,q)

(16)

选择FRFT域上所有入射信号数据作为观测数据进行处理,用向量表示UCA所有阵元的空间时频输出:

X=AS+N=[X1X2…XM]T

(17)

A=[A1A2…AQ]

(18)

S=diag{S1(α10,m10),S2(α20,m20),…,SQ(αQ0,mQ0)}

(19)

其中:

Aq=[1Aq(τ2,q) …Aq(τM,q)]T

(20)

Xk=[Xk(α10,mk,1)Xk(α20,mk,2) …Xk(αQ0,mk,Q)]

(21)

空间时频输出X的相关阵为:

RXX=E[XXH]=AE[SSH]AH+E[NNH]+

AE[SNH]+E[NSH]AH

(22)

由于产生的噪声是与信号无关的高斯白噪声,且假设各天线阵元之间噪声不相关,可以将式(22)表达为:

RXX=AE[SSH]AH+σ2I

(23)

对RXX进行特征值分解,有:

其中,ηq(q=1,2,…,Q)是RXX的Q个大特征值,Vq(q=1,2,…,Q)是大特征值对应的特征向量,γq(q=1,2,…,Q)是RXX的Q个小特征值,Uq(q=1,2,…,Q)是小特征值对应的特征向量。

为解决由空间欠采样带来的模糊项影响,采用整数搜索法进行到达角估计解模糊。针对由信号的Q个大特征值得到的主特征向量Vq=[Vq,1Vq,2…Vq,M]T,为减小搜索范围、降低运算量,将Vq的相邻元素进行相除求得复角:

(25)

其中,k=1,2,…,M-1,φq,m∈[-π,π),Cq=(2r/λq)sin (π/M),αq=sinθqcosφq,βq=sinθqsinφq,Kq,k是一个整数。

由于sin [φq-(2k-1)π/M]sinθq∈[-1,1],有-Cq-φq,k/2π≤Kq,k≤Cq+φq,k/2π。

令:

其中,round(x)表示最接近x的一个整数。搜索所有Kq,1和Kq,2的组合,计算得出最小的ΔKq,使得Kq,k(k=3,4,…,M-1)为整数,此时即最佳Kq,1、Kq,2组合,并得到正确的Kq,k(k=3,4,…,M-1)。

构造矩阵:

B[αqβq]T=C

(29)

求解方程:

综上,本文提出的欠采样环境下二维DOA估计方法的步骤为:

1)对接收到的信号进行FRFT,然后进行谱峰搜索得到Q个峰值坐标(αq0,μq0)(q=1,2,…,Q)。

2)计算各阵元接收信号关于αq0(q=1,2,…,Q)的FRFT,搜索峰值并构造空间时频输出矩阵X。

3)计算空间时频输出矩阵X的相关阵RXX并进行特征分解。

4)对由特征分解得到的Q个大特征值对应的特征向量进行整数搜索,得到正确的Kq,k。

6)根据式(32)、式(33)得到原始信号无模糊的俯仰角、方位角信息。

3 仿真结果与分析

1)算法精度校验。设空间均匀圆阵天线阵阵元半径为最小信号波长的5倍,天线由M=16个全向性阵元天线组成。图3所示为信噪比为0时,对俯仰角进行0～90°搜索、对方位角进行0～360°搜索的二维DOA估计结果。图4为信噪比以1 dB从-5 dB到5 dB步进时信号俯仰角和方位角的均方根误差曲线。

图3 信噪比为0时二维DOA估计结果

图4 信噪比对二维DOA估计误差的影响

从图3可以看出,本文方法能够在空间欠采样条件下对宽带LFM信号进行二维DOA估计。从图4可以看出,文中方法在低信噪比条件下仍有较好的估计精度,且估计精度随信噪比的增加而提高。

2)阵元个数对估计精度的影响。采用和上述实验相同的宽带LFM信号入射天线阵,建立具有不同阵元个数的均匀圆阵天线阵列,天线阵元个数依次为7、8、10、12、14、16、18、20,进行300次Monte-Carlo实验。图5所示是信噪比为0、天线阵元个数不同时,2个接收信号的俯仰角和方位角估计值的均方根误差曲线。从图5可以看出,随着均匀圆阵阵元个数的增加,信号俯仰角和方位角估计值的均方根误差均呈明显下降趋势。

图5 阵元个数对二维DOA估计误差的影响

3)均匀圆阵与非均匀L阵性能对比。设置均匀圆阵阵元个数为15,半径为10.6 cm;非均匀L阵阵元个数为15,阵元间距依次为5.3 cm、6.0 cm、6.7 cm、7.4 cm、8.1 cm、8.8 cm、9.5 cm,满足稀疏阵列设置,能够保证整数搜索法结果的唯一性。假设空间信号被2种阵列接收,图6所示为2种阵列俯仰角和方位角估计的均方根误差对比曲线。从图6可以看出,本文方法对信号俯仰角和方位角估计的均方根误差比非均匀L阵小1个～2个数量级,且在低信噪比情况下,本文方法仍具有较高的估计精度。

图6 非均匀L阵和均匀圆阵均方根误差对比结果

4 结束语

本文依据FRFT对宽带LFM信号的能量聚集特性,将空间宽带LFM信号进行时频分离,将其变换为FRFT域的一系列平稳单频信号,从而构建新的空间时频分布数据模型。对于由空间欠采样引起的相位模糊,采用整数搜索法进行多宽带LFM信号的无模糊二维DOA估计。实验结果表明,本文方法在欠采样条件下进行二维DOA估计,能够有效降低计算量和运算复杂度,从而降低硬件成本,减轻数字处理压力。下一步考虑将本文算法应用于相干宽带LFM信号的无模糊DOA估计,并建立精度更高的天线阵列模型。