一类离散非线性时滞人口模型的解的有界性与渐近性

安存斌，陈慧琴，王丽霞

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

大多数社会领域的研究中，常微分方程已不能完全模拟客观事物了，许多客观事物的现象都用差分方程构造数学模型来描述客观事物，而差分方程的解的一些性质是重要的研究领域，近年来，许多学者对线性、连续、时滞、差分方程的解的有界性、渐近性等性质做了深入的研究[1-5]。文献[1]中研究了方程的平衡解与解的渐近性，由于分析到文献[1]人口模型的无时滞的情况下，下面在文献[1]的研究的前提下，结合文献[2]结论来研究一类离散非线性时滞人口模型方程

相对应的初始条件为

x(-τ),x(-τ+1),x(-τ+2),…,x(1)∈[0,∞),x(0)＞0(2)的解的有界性与渐近性。这里设方程（1）满足下列条件：1）n=0,1,…；2）p,q,r∈(0,∞)；3）0≤k＜m。方程（1）中，x(n)是人口数量，p是死亡率，设函数，τ是函数 x(n)的周期，ω是f(x)在(0,∞)内的唯一稳定点。

因为方程（1）中的 p,q为常数，所以方程（1）满足条件（2）的平衡解类同与文献[1]的方程（1）的平衡解，因此着重讨论方程（1）解的有界性与渐近性。

1 方程解的有界性

定理1若方程（1）满足条件（2）的所有解为正的有界。

所以，方程（1）满足条件（2）的所有解为正的有界。

2 方程解的渐近性

定理2若方程（1）满足初始条件（2）则其总存在解,使得

证明方程（1）取初始条件 x(i)=x(0),(i=-τ,-τ+1,…,-1),其中当 x(0)充分小时，可使得-p+qf(x(0))＜0,则有

所以数列x(n)单调递减，又由数列x(n)有界，则根据单调有界原理可得x(n)存在极限。对方程（1）两边取极限得。即若方程（1）满足初始条件（2）则其总存在解x(n)，使得。定理证毕。

定义设 x(n)和是方程（1）在 (0,∞)内的两个正解且是方程（1）的平衡解，如果 x(n)-的零点没有界，那么称方程（1）的解x(n)关于平衡解振动，否则称方程（1）的解 x(n)关于平衡解非振动。当=0时，方程（1）的解 x(n)关于平衡解零点振动。

推论1若=f(ω),则方程（1）满足条件（2）存在解x(n)关于唯一正平衡解非振动。

推论2若=f(ω),则方程（1）满足条件（2）存在解 x(n)满足 x(n)＜。

注：特别地，k=1时，是文献[2]中方程。因此，本章的方程更具有一般性，适用范围更广。