函数最值方法在不等式证明中的应用

吴子生

【摘 要】本文主要研究函数的最值方法在不等式证明中的应用。结合不等式的不同特点，对不等式做恰当的变形，找出规律，构造不同的辅助函数，然后根据函数的单调性找出定义域上最大值或者最小值，便可以建立不等式关系，通过整理得到不等式结果。

【关键词】不等式；函数的极值；函数的最值；辅助函数

引言

不等式的证明不仅是高中数学非常重要的一部分内容，还是将来学习高等数学微积分的重要基础。所以我们有必要研究总结证明不等式的若干方法，从而使学习更具有系统性。本文介绍了不等式证明的八种方法，有比较好的参照性，但是由于高中阶段学生所学习的知识有限，文章所介绍的许多方法，例如微分中值定理方法、凹凸性方法和积分中值定理方法，并不能在高中教学中大力推广。文主要结合高中所学习的函数单调性来证明一些不等式。事实上，高中数学中函数的最值在不等式的证明中也有很好的作用，本文将利用函数的极值最值问题再结合函数单调性的相关结论来总结不等式证明的方法。

1.利用导数判定函数的极值

我们在讨论函数最值的时候，其实需要先找出函数的极值，下面先给出极值点与函数的导数的关系：

定理1 设函数f（x）在点定义域D上可导，x■∈D，则

（1）若x∈（x■-δ，x■）时f'（x）<0而x∈（x■，x■+δ）时，f'（x）>0，则f（x）在点x■取得极小值。

（2）若x∈（x■-δ，x■）时f'（x）>0，而x∈（x■，x■+δ）时，f'（x）<0则f（x）在点x■取得极大值。

结合上面的结论，如果定义域D为闭区间[a，b]。根据闭区间上连续函数的性质，f（x）存在最大值和最小值，这时如果最值点在开区间（a，b）内取得，则其一定是极值点，如果不在开区间（a，b）内取得，则一定在端点处取得。所以我们只需要比较极值点和两端点上的函数值，就能从中找出最大值和最小值。如果定义域不是闭区间，而函数在定义域上又只有唯一的极值点，那么该极值点一定是最值点。

2.利用最值方法证明不等式

2.1最值方法在函数不等式中的应用

当题目要求证明两个函数f（x）和g（x）的不等式关系时，可以考虑二者相减的方法构造函数F（x）=f（x）-g（x），然后求其导数，再研究其在定义域的最值，从而证明所需不等式。

例1 证明不等式x+1

分析 题目相当于在比较函数x+1和e■的大小关系，这时可以构造函数F（x）=x+1-e■，题目转化为证明F（X）<0，那么我们只需要研究其在实数集R上最值即可。

证明：令F（x）=x+1-e■，则F'（x）=1-e■。令F'（x）=0，有x=0。

当x<0时，F'（x）>0，F（x）严格递增；当x>0时，F（x）<0，F（x）严格递减，又F（x）在x=0连续，故函数F（x）在x=0取得极大值。且一定是取得最大值。从而有F（x）≤F（0）=0。

于是x≠0时，F（x）<0，即x+1

2.2最值方法在含有“多项和”的不等式中的应用

当所证明的不等式中含有1+■+■+…+■时，我们可以利用函数最值的方法，先证明不等式：■0，再去证明更多类型的不等式，具体的方法步骤，我们以例题的形式给出。

例2 证明不等式ln（1+m）>■+■+■+…+■，m为正整数。

分析 根据ln（1+x）>■，可知ln（1+■）>■，ln2>■，ln■>■，…，ln■>■。所以ln2+ln■+…+ln■>■+■+■+…+■，而不等式左边恰好等于ln（1+m）。

证明：令f（x）=ln（1+x）-■，则f'（x）=■-■=■。

当x>0时，f'（x）>0，所以函数f（x）在[0，+∞）上严格递增。所以f（x）在x=0取得最小值。故当x>0时，f（x）>f（0）=0，即ln（1+x）>■。

分别取x=1，■，■，…，■得

ln（1+1）+ln（1+■）+ln（1+■）+…+ln（1+■）>■+■+…+■。即ln[（1+1）·（1+■）·（1+■）·…·（1+■）]>■+■+…+■。整理后有ln（2×■×■×…×■）>■+■+…+■。所以ln（1+m）>■+■+…+■。

類似方法我们还可以证明不等式：ln （1+m）<1+■+■+…+■，只需构造辅助函数f（x）=ln（1+x）-x即可。

3.结论

通过以上讨论，函数的极值、最值方法在证明许多类型的不等式时能起到很好的效果。证明的主要思路是：根据不等式特点构造可导的函数——利用单调性求出函数的极值和最值——得出不等式关系——整理变形得出结果。上述过程中解决问题的关键一步是找出恰当的辅助函数，本文已经根据不等式的特征给出了构造辅助函数的方法，对以后教师教学总结和学生学习归纳都有一定的指导作用。当然，由于不等式的证明形式繁多复杂，文章不能把所有情况都一一列举，仍然需要在以后的学习过程中逐渐总结发现，从而更好地利用函数的极值最值这一重要证明工具。

【参考文献】

[1]李占光，廖仲春，刘福保.高中数学中不等式的证明方法归纳[J].长沙民政职业技术学院学报，2010.17（4）：108-109

[2]谢卫.运用函数单调性证明不等式[J].高中数学教与学，2010.18（5）：21-21

[3]贺学海.利用函数的单调性证明不等式的难点[J].商丘职业技术学院学报，2009.38（41）：8-10