“一元二次方程”教学设计及反思

■祁荣圣

一、教学内容

苏科版《数学》九年级上册第一章“一元二次方程”。

二、教学目标

1.会根据简单的实际问题列出方程，能归纳一元二次方程的概念及一般形式。

2.通过类比，感知一元二次方程的基本内容；初步感知将一元二次方程的求解转化为一元一次方程解决。

3.通过探索实际问题中的数量关系及变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步感受方程、函数是刻画现实世界数量关系的有效模型。

三、教学重点

经历根据实际问题建立一元二次方程的过程，感知研究一元二次方程的基本思路和方法。

四、教学难点

发展符号意识、方程意识，培养提出问题的能力，渗透转化、类比等基本的思想方法。

五、教学方法与手段

教学方法：问题引领、类比发现；教学手段：框图板书、PPT投影。

六、教学过程

1.课前展示PPT。

PPT的内容：在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和类比。——拉普拉斯

2.版块一：从实际问题到方程，归纳一元二次方程的定义。

（1）从实际问题到方程。

问题情景1：已知，正方形桌面的面积是2cm2。你能提出与正方形面积有关的数学问题吗？正方形的边长与面积之间有何数量关系？我们可以用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？

设计说明：根据题干提出问题，让学生经历运用方程表示等量关系的过程，初步感受方程的作用，培养学生提出问题、解决问题的能力。

问题情境2：①矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2。你能提出什么数学问题？（教师直接点名回答，注意分清两种设法。）

②某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册。假设这两年图书馆的藏书平均年增长率为x。怎么理解平均年增长率x？怎样列出关于x的方程？（小组交流讨论年增长率的含义。）

③长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m。设梯子的底端与墙的距离是x m，怎样用方程来描述其中的数量关系？依据是什么？（学生板演。）

设计说明：依据问题难度，教师采用不同形式组织教学，引导学生观察、分析、比较，让学生发现一元二次方程与之前所学的方程的区别，找出等量关系并运用方程解决实际问题，从而感知方程是解决实际问题的有效模型。

（2）归纳一元二次方程的定义。

问题1：你能给它们命名吗？为什么？（教师列举一些分式方程的反例，即容易误认为是整式方程的分式方程，突出学生的易错点。）

问题2：回忆之前认识的方程，一元二次方程应该如何归类？

问题3：类比数的分类、式的分类，方程如何分类？

问题4：回顾一元一次方程定义（一般形式），用语言归纳一元二次方程定义。

问题5：类比学习一元一次方程的过程，你觉得我们应该怎样研究一元二次方程？

设计说明：小组交流一元二次方程的特点，类比一元一次方程的定义，尝试归纳一元二次方程的定义；类比一元一次方程的知识流程图，构建一元二次方程章节的流程图，解决“学什么”的问题，整体感知章节内容，建构知识体系。

3.板块二：归纳一元二次方程的一般形式，了解相关概念。

问题6：可以类似地用更一般的式子表示一元二次方程吗？（教师引导学生类比一元一次方程，用字母表示数，从特殊到一般进行思考。）

师生共同归纳一元二次方程一般形式：任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）的一般形式。（教师引导学生注意辨析二次项、一次项、常数项、二次项系数和一次项系数。）

问题7：a≠0可以省略吗？常数b、c有限制要求吗？

问题8：板演练习，写出板块一的4个方程中的a、b、c。

设计说明：让学生类比ax+b=0（a、b是常数，a≠0）的一般形式，自主探究一元二次方程的一般形式；在ax2+b=0（a、b是常数，a≠0）处渗透反例，延伸一元二次方程一般形式的发展过程，让学生在类比学习的过程中，感悟类比时既要注意相关事物的相同之处，又要在不同之处辨析，从而训练学生的思维。

4.板块三：初步了解方程的解，感知如何解一元二次方程。

PPT投影：你会解一元二次方程吗？①x2=2；②x2+4x=0。

问题9：方程①如何解？依据是什么？如何验证方程的解？

问题10：你能解方程②吗?

（教师注意预设情形：学生可能会看出一个解是0，或者尝试用完全平方公式转化，或者借助分式章节的ab=0的讨论联想因式分解。）

问题11：正方形桌面的面积是2m2，如何求它的边长？

设计说明：（1）让学生经历求解简单一元二次方程的过程，感知一元二次方程解的定义，体会借助已有知识储备如开方、平方等，将未知问题转化为已知一元一次方程的思想；（2）严格控制解方程的难度，不关注学生是否能掌握解法，重点让学生在“走马观花”解方程的过程中体验方程的解的内涵，激发学趣，留下悬念，完善对实际问题的解决。

问题12：归纳利用方程解决实际问题的思路。

用一元二次方程解决问题的流程:

设计说明：借助问题9、11，完善学生的认知结构，整体关联教学，初步形成解决问题的基本思路。

5.板块四：运用方程解决实际问题。

问题情景：一块石头从45m高的绝壁上落下，若时间x（s）分别取0，1，2，2.5 …可以发现石头离海面高度h（m）对应值为45，40，25，13.75 …

问题13：石头下落的过程中，h和x之间是何种关系？（教师引导学生注意变量。）

问题解决：借助x和h的对应值，温故函数基本定义，得到石头离海面高度h（m）和下落时间x（s）大致有关系h=-5x2+45。借助解析式，感知当x确定，代入求函数值h的过程就是解一元二次方程。

问题14：石头经过多长时间落到海面？

问题15：可以换一种数学语言表述吗？

（教师注意预设情形：实际就是令h=0，解一元二次方程0=-5x2+45。）

设计说明：呈现教材章头图中的一道实际问题，考虑学生的认知能力，改变问题出现的顺序，引导学生初步感知函数与方程的联系与区别；扣住变量和未知常量，引导学生发现函数与方程的区别与联系，让学生感知方程、函数之间的关联即“瞻前顾后思关联”，架构本章节所学内容与未知的二次函数的关联，进一步设疑激趣。

6.板块五：归纳总结。

问题16：分享交流本节课令你印象最深的地方。

设计说明：让学生归纳学会的知识，梳理“会学”的方法。

7.板块六：作业布置。

必做题：教材第8页习题1；选做题：借鉴八年级上册“一次函数、一元一次方程、一元一次不等式”的探究经验，尝试类比解决下列问题：已知函数y=x2-6x+9，求该函数图像与x轴交点坐标。

设计说明：通过采用必做题、选做题的形式，分层布置作业，检查学生学习效果的同时，使各个层次的学生得到发展。

七、教后反思

本节课采用单元教学课型，借助章头图设计整体关联教学。本节内容不仅是教材的第一课时，而且是全章内容的整体建构，重在引导学生为什么要学、将要学什么、如何学。笔者从以下3点入手，设计了本节课的教学。

1.体会学习一元二次方程的必要性。列举生活实例，让学生充分感悟到方程是解决实际问题的一种常见数学模型；类比数、式的分类，让学生了解学习一元二次方程是对方程学习的一次扩充以及生产、生活的需要，从而提高学生学习一元二次方程的积极性。

2.类比了解一元二次方程的基本内容。本节课的设计立足于“先行组织者”，要让学生了解本章知识的基本框架与结构的构建。教学中用实际问题进行引领，类比一元一次方程，用“走马观花”的方式让学生对一元二次方程的内容有一个整体认识，力争使学生在后续学习中能“见木见林”，为学习新知识做好准备的同时激发学生的学习兴趣并有效降低学习的难度。

3.归纳梳理一元二次方程解决实际问题的基本思路。让学生通过类比一元二次方程，了解一元二次方程学习内容：定义→解法→应用（解决实际问题），再回归到课前的实际问题中，归纳梳理用一元二次方程解决实际问题的思路。