根据变量的个数研究几何概型问题的解法

广东省深圳市翠园中学 林 钿

我们知道,当事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,这样的概率模型为几何概率模型.但是,在面对几何概型问题时,部分学生却不知道究竟要利用长度、面积或者体积中的哪一种几何概率模型来计算具体问题的概率.本文主要从变量个数的角度选择合适几何概型模型解决几何概型问题.

1 .一维几何概型问题

一个几何概型问题中,如果具体问题中变化的量只有一个,可以认为是一维的几何概型问题.单个变量一般对应到数轴上的一个点,满足题意的所有情况可以转换成线段长度.所以,可以通过计算满足题意的线段长度占据总事件对应的线段的比例计算概率.

例1(2016年高考全国卷II)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车,小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

解析由于该题变化的量是小明的出发时间,而发车时间是固定不变的.可以看成一维的几何概型问题.转化成数轴问题解决.

图1

画出数轴如图1,其中,满足题意的时间段为7：50-8：00和8：20-8：30共20分钟,所有可能的出发时间合计为40分钟.所以,等车时间不超过10分钟的概率为

感悟提升对于一维几何概型问题往往都可以转化成数轴问题,然后利用一维几何概型概率计算公式：

变式探究(2017年烟台市模拟试题)在区间上随机取一个数x,则cosx的值介于之间的概率为___.

解析当时,由得总的事件数对应的数轴长度为满足题意的事件数对应的数轴长为根据几何概型概率公式得所求概率为

2 . 二维几何概型问题

例2某校早上8：00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7：30-7：50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为____.(用数字作答)

解析与例1相比,例2中涉及到的变量变成了小王与小张两个人到达时间,设小王到校时间为x,小张到校时间为y,建立平面直角坐标系,原点O表示7：30.两人到校时间可以利用点的坐标表示.所有可能的到校时间组合恰好形成了一个正方形,该正方形区域的面积为400.小张比小王至少早到5分钟时满足x-y≥5.对应的图形(图中阴影部分)的面积为

图2

感悟提升若具体的几何概型问题涉及到的变量有两个,可以把计算概率的问题转化成求面积比例的问题;一般步骤如下,先画出直角坐标系,在坐标轴上把两个变量对应的值标出来;再把题目的约束条件化成对应的不等式做出可行域;最后,利用概率计算公式：

变式探究(2016年高考全国卷I)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,···,xn,y1,y2,···,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),···,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()

图3

解析这个题可以理解成有两个变量x,y,两个变量均是属于区间[0,1].由例2知道,在平面直角坐标系中这对应的图形是正方形.同时,两数的平方和等于1这对应的图形是一个圆.则该题可以理解成在矩形区域随机抽取n个点,其中落到圆区域的点有m个.设正方形的面积为S,圆的面积为S′,所以

3 . 三维几何概型问题

例3在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P,则点P到点A的距离不大于a的概率为()

解析满足条件的点在以A为球心,半径为a的球内,所求概率为故选D.

感悟提升由题可知,满足题意的所有点形成的是一个空间几何体—球;所求的概率等于球的体积与正方体的体积的比,可以理解成是一个三维的几何概型问题;对于以空间几何体为背景的几何概型问题,往往都要找出满足题意的点形成的几何体体积,再找出总的事件对应的几何体体积.最后利用概率计算公式：

变式探究在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部随机取一点P,则的概率为()

解析由得(h为P到平面ABCD的高).SABCD=1,所以故满足条件的点构成的几何体为如图中截面下方部分.故所求概率为故选A.

图4

小结从上述例子可知,解决几何概型的问题主要先分析题目涉及到变量个数,利用变量的个数把几何概型问题转化成具体长度、面积或体积这些几何元素的比例问题求解.