基于模型思想的用减法解决问题

罗建福

一、问题提出

“百度知道”上有家长这样问：“孩子上一年级了，需要逆向思维的减法问题不会解答。比如，树上有10只鸟，飞走了一些，还剩3只，飞走了几只？他列式为：10-7=3。我给他讲解了很多次，可是他再遇到类似的问题还是这么写，我该怎么给他讲？孩子为什么会这么想呢？”

其实不光家长有这样的困惑，一年级的数学教师也面临这一问题带来的困扰。在课堂练习和期末学习水平检测中学生经常出现下面这样的问题：

“黄狗和花狗共有16只，黄狗有6只，花狗有几只？”学生回答：“花狗有10只。”怎么列式呢？“6+10=16。”

“16个人，每人一把椅子，已经搬来6把，还要再搬几把？”学生回答：“再搬10把，列式：6+10=16。”

“妈妈买来15个苹果，还剩5个，吃了几个？”答曰：“吃了10个，列式：15-10=5。”

虽然上述三个问题呈现的内容稍有不同，但其实都可以归结为“已知总数和部分数，求另一部分数”的问题。那么为什么学生如此难以正确解答这一类问题呢？

二、原因分析

首先从学生对加、减法意义的认识开始来了解学生的思维过程。

人教版一年级上册《1—5的认识和加、减法》这一单元开始学习加、减法的意义。

教材中加法意义的教学呈现了两种模型，第一种是动态的，第二种是静态的。但这两种模型的意义是相同的，都是把两个部分合并在一起，用加法计算。

接着教材试图用两种方式呈现减法的意义的教学，但实质上这两种方式呈现的减法的意义是相同的，都是动态的。如从总数中去掉走了的小狗，用减法计算；从总数中去掉圈起来的花，用减法计算。也就是说都是从总数中去掉一部分，求剩下的一部分用减法计算。

接下来学生在《6—10的认识和加、减法》这一单元中开始学习有大括号的看图解决问题，进一步强化了对静态的加法、动态的减法意义的认识。

经过了这类看图列式的反复训练，学生在头脑中牢固地建立了如下加、减法的意义模型。

1.左边的数量+右边的数量=一共的数量。

2.一共的数量-去掉的数量=剩下的数量。

只要有非常明显的“跑了”“走了”“拿走”“吃了”这样典型的动态的情境，就会引发学生头脑中的减法模型。

于是学生在遇到问题时会这样将其代入模型。

“黄狗和花狗共有16只，黄狗有6只，花狗有几只？”没有“跑了”“走了”，于是学生头脑中呈现模型“黄狗只数+花狗只数=16只”，因此列式为“6+10=16”。

“16个人，每人一把椅子，已经搬来6把，还要再搬几把？”没有“拿走”“去掉”，学生头脑中呈现的模型是“已经搬来的把数+还要再搬的把数=16把”，列式为“6+10=16”。

“妈妈买来15个苹果，还剩5个，吃了几个？”有“吃了”，符合减法模型“买来的苹果个数-吃掉的个数=剩下的个数”，列式为“15-10=5”。

显然学生是在运用自己已经掌握的数学模型在解决问题，只不过由于他们掌握的数学模型有限，因此限制了他們的思维。如果他们能正确掌握“总数-部分数=另一部分数”这一数学模型，他们应该也能够正确地运用减法来解决上述问题。

三、解决方法

如何让学生掌握“总数-部分数=另一部分数”这一数学模型？教材中有没有提供对应的学习素材呢？

1.挖掘教材

《6—10的认识和加、减法》这一单元中出现的“一图两式”乃至“一图四式”的教学既要让学生体验几道算式中3个数的关系，也要让学生感受到数学知识与实际生活的联系。这个联系提炼成数学模型就是“部分数+部分数=总数”“总数-部分数=另一部分数”。

左图是一个动态的减法情境图，要求列出两个减法算式，那么就意味着学生不能仅仅从“一共的数量-去掉的数量=剩下的数量”这一单一模型来考虑，而必须真正理解并运用“总数-部分数=另一部分数”这一更广泛的模型来解决。

看来教材是充分呈现了建构“总数-部分数=另一部分数”这一数学模型所需要的学习素材，该如何建构模型呢？

2.建构模型

从认知心理学的角度来看，学生数学学习的过程就是数学认知结构的发展变化过程，也就是“同化—顺应—平衡”的过程。

因此，建构“总数-部分数=另一部分数”这一新的数学模型，我们应当帮助学生建立新旧两种模型的联系，通过“同化—顺应”获得新的平衡。

首先，在学习《1—5的认识和加、减法》这一单元时，我们应当认识到，学生在学前就已经掌握了“一共的数量-去掉的数量=剩下的数量”这一减法模型，我们在课堂教学中不能仅仅停留在重复并强化这一模型的层次上。我们应当帮助学生适当改造这一模型。这一阶段可以告诉学生，“一共的数量”是“总数”，“去掉的数量”其实是“一部分”，“剩下的数量”就是“另一部分”。让学生初步建立起“总数-部分数=另一部分数”的概念。

接下来学习《6—10的认识和加、减法》这一单元时，“一图两式”和“一图四式”的教学中都应当帮助学生明确，无论是摆在左边的学具还是摆在右边的学具，都是总数的一部分；总数减去左边的一部分就等于右边的一部分，总数减去右边的一部分则等于左边的一部分。同样的道理，拿走的和剩下的也都是总数的一部分，总数减去拿走的部分等于剩下的部分，总数减去剩下的部分则等于拿走的部分。这样无论是静态的情境还是动态的情境，都被纳入到“总数-部分数=另一部分数”这一数学模型中。

最后在解决用大括号呈现的数学问题时，继续强化并运用这一数学模型，使学生能熟练地将类似问题解读为已知总数和部分数，求另一部分数，用减法计算。

经过了这样的数学模型建构历程，学生在遇到本文开篇所提到的用文字叙述的用减法解决的问题就基本能够顺利解决了。