在探究发现中学习抛物线焦点弦有关性质的案例

文/中山纪念中学 王明山

本节探究课是前面学习抛物线标准方程及其简单几何性质的延伸，也是在学习 《普通高中课程标准实验教科书·数学 （选修2-1）》 （人教版）第二章圆锥曲线中椭圆和双曲线有关知识基础上的拓展。美籍数学家、数学教育家波利亚在其名著 《怎样解题》中指出：在解题过程中要加强学生数学发现能力的培养，教会学生思考和培养学生创新精神。因此本节课的重点不在于推出多少性质，记住多少结论，而是用已学过的知识为载体，引导学生如何抓住这类问题的本质（抛物线的焦点的直线方程），启发学生思考，在探究活动中积累基本的运算经验，发展数学运算素养，提高分析问题和解决问题的能力。

1．课前准备，知识链接

上网搜集有关 “抛物线的光学性质及截面为部分抛物线的物体”的资料，并与同学交流。

2．问题引出本节内容

师：投影演示学生作业 （即课本第73第5题的解答过程）。

【题】如图，M是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以为Fx始边，为FM终边的角∠xFM=60°，求│FM│。

（此时学生全神贯注地看着投影，同自己的解答过程作比较）

师：请同学们分析此题解答是否正确，有无其他解法？

生1：方程③使用韦达定理无法求出│MF│的大小，只能先求出点M的坐标，然后用两点间距离求出│MF│。

生2：因为│FM│=x2+p，所以│FM│=3+1=4。

（其余同学都基本赞同两位同学的分析）

生3：化简方程组时常不知道消去x还是消去y，而且也容易出错。

师：大家能否从直线FM的方程入手寻求该问题的突破口呢？

【设计意图】通过一个共性的作业问题引出本节课的重点，激发学生探究知识的欲望。

3.提出问题、讨论、探究、交流分享

问题1：

师：如右图所示，抛物线方程为：y2=2px（p＞0）， 焦点

通常情况下如何根据已知条件设直线方程？

生：一般用点斜式来设直线方程。

师：用点斜式来设直线方程要讨论直线的斜率是否存在，有没有不讨论直线斜率的存在性而设直线方程呢？请同桌两位同学相互讨论、补充。

【讨论过程】同桌两位同学相互讨论，老师回答学生的疑问。

师：过抛物线焦点的直线方程到目前为止通常有几种表示形式？

师：请同学们分析上述三个方程的优缺点。

【发现结论、交流分享】

方程①是斜率存在的前提下得到，对于斜率不存在需要单独讨论。

方程②包含直线斜率不存在的情况，但对斜率k=0的情况需加以特别说明。

【设计意图】在合作学习中，分享彼此的方法和经验，这是拟定解题方案的关键一环。

问题2：

师：有了对直线方程的上述讨论，那么如何分别化简下列两个方程组？

【讨论过程】对于方程组 （1） （2）的化简，同桌两个同学分工，一个同学用消去x的方法化简方程组，另一个同学用消去y的方法化简方程组，然后交换化简结果，相互交流。

投影演示某组同学化简结果：

（a）把①式代入②消去y有：k2x2-(k2+2)px+（定值）。

（b）把②式代入①消去 x有 ky2-2py-p2=0，则

（a）把③式代入④消去x有：y2-2mpy-p2=0，则y1+y2=2mp， y1y2=-p2（定值）。

【发现结论、交流分享】请同学们观察、分析上述方程组的化简过程，思考在什么条件下设哪种直线方程以及在化简方程组时如何消元？

生1：如果定点P=(a，0)(a≠0)为x轴上的点，则设直线方程为x=my+a，再与抛物线方程联列，消去x，化简方程组较简单。

生2：如果定点P=(0，b)(b≠0)为y轴上的点，则设直线方程为y=ky+b，再与抛物线方程联列，消去y，化简方程组较简单。

【探究一】有了上面的化简结果，如何根据方程组的化简结果来探究抛物线焦点弦的一些常见性质？

学生讨论、交流、分享探究结论：

①x1x2=

②│AB│=x1+x2+p。

③设A，B分别为MN，M1N1的中点，AB与抛物线交于Q，则Q是AB的中点。

……

【探究二】 如果用tanθ代替 （1）（2） 方程组中的k，会出现什么结论？

学生独立思考、交流、分享探究结论：

【回顾、检查、总结】

（1）不论从抛物线的定义、例题，还是习题都可以发现： “过抛物线的焦点的直线是研究直线与抛物线位置关系中非常基本也是非常重要的一条直线”，对这条直线的研究不但可以挖掘出与此相关的很多性质，而且也可以起到触类旁通的效果，对解析几何问题的理解和解答起到很好的示范作用。

（2）针对学生的困惑笔者认为一方面是没有针对具体问题进行深入的数学阅读，设计好解题方案，另一方面则是运算能力不过关，在方程 （方程组）化简过程中无法完整执行解题方案。

3.课后思考、探究、发现

（1）在问题1中如果直线过定点P(a，b)且a≠0，b≠0，又如何设直线过程？（2）在投影演示课本第73第5题的解答过程中，我们可以确定点的M坐标是那么另一个坐标的意义是什么？请同学们独立思考课本第70例5，并尝试可以发现哪些类似结论？体现了什么数学思想？

（3）解答课本第81，并了解关于反射式 （也叫牛顿式）天文望远镜的制造原理。

依据波利亚在 《怎样解题》中提出的四个解题步骤，从实践中发现的问题出发，在教与学的师生互动中，既体现了学生学习的主体地位，也体现出教师的引领、启发作用，而且师生间交流分享彼此的经验、思路，使得学生进一步加深了数形结合思想的理解，培养了学生的理性思维，学生通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，在探究中解决了学习的困惑。