单人步行荷载模型研究

2018-08-02谢伟平冯金鹏

振动与冲击 2018年14期

谢伟平，章涛，何卫，冯金鹏

(1. 武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉 430070；2. 武汉理工大学理学院，武汉 430070)

随着大跨轻柔结构的逐步发展，人致振动问题日益凸显。对于该类问题的研究，重点和难点在于人行荷载的模拟，国内外学者们在该领域已开展了大量关于人行荷载模拟的研究工作。步行荷载模型有不考虑相互作用的时域力模型和考虑相互作用生物动力模型两类。迄今为止，在该领域已经取得了较多的成果，现在面临的问题是，对于现有的这些模型，我们该如何选取，以便更精确的预测结构动力响应，关于这一方面的研究，国内外尚未见文献报道。本文基于最基础的单人步行荷载，开展不同荷载模型的对比分析与实验验证工作，为单人步行荷载模型的选取提供参考。

人与大跨轻柔结构之间存在不可忽略的相互作用[8]，为了研究这种相互作用，人体被简化为不同形式的弹簧、质量和阻尼(Spring Mass Damper, SMD)系统。Archblod[9]认为不考虑相互作用对于单人和人群响应预测都会偏于保守。Kim等[10]基于生物力学领域的双足行走模型(Bipedal Walking Model, BWM)，提出了具有时不变阻尼的双足模型。秦敬伟等[11]在Kim的基础上进行改进，提出了具有时变阻尼和反馈机制的新双足模型，使得每一步的起始足底反力能从零开始并且保持人体平衡。何卫，谢卫平等[12-13]分析了结构上人体对结构动力特性的影响，并基于双足模型分析了人-结构相互作用对足底反力的影响。谢旭等[14]采用BWM对一人行桥的计算结果表明不考虑相互作用的计算结果明显大于考虑相互作用的计算结果。丁阳等[15]基于静止人体的两自由度SMD模型[16]，构建了考虑相互作用的随机人行荷载模型，其认为考虑相互作用会降低结构响应。Silva等[17]基于单自由度自激励ASMD模型(Actuator Spring Mass Damper，ASMD)，通过实验模态分析得到了人体行走状态下的模型参数，简化了人体行走模型。

对已有步行荷载模型进行评述，分析了模型各自的特点及适用范围；在此基础上，建立了包含亚谐分量自激励的ASMD模型Ⅱ，并开展人致振动实验对其进行了验证。

1 步行荷载模型

不考虑相互作用的时域力模型有连续的傅里叶级数模型和单步落足“M”曲线两种形式，SMD模型有BWM模型和ASMD模型，见表1所列。本节将对这五种步行荷载模型进行评述。

表1 人行荷载模型

1.1 不考虑相互作用的时域力模型

1.1.1 模型A1：IABSE模型

国内外学者对动载因子(Dynamic Load Factor，DLF)取值进行了丰富的研究工作，比较有代表性为Kerr和陈隽的实验研究工作，两者的研究结果均表明：在正常步频范围内，一阶DLF的取值随步频的增大而增大，高阶DLF与步频相关性不明显。

国际桥梁与结构工程协会(IABSE)推荐使用三阶傅里叶级数模型来描述步行荷载，如式(1)所示。

(1)

式中：F(t)为步行荷载；G为人体自重；fp为步频；t为时间；ai为第i阶动载因子，φi为第i阶谐波初相位，α1=0.4+0.25(fs-2)，α2=α3=0.1，φ1=0，φ2=φ3=π/2。

图1为一阶DLF随步频的变化关系，由图可知，IABSE模型的一阶DLF取值在低频偏大，偏于保守考虑，以IABSE模型为连续傅里叶级数模型的代表进行后续分析。

图1 第一阶动载因子 Fig.1 First order dynamic load factor

1.1.2 模型A2：单步落足曲线

单步足底反力表现为“M”曲线，其加载方式在空间上以步幅为增量，在每个落足点进行加载，表现为多点时滞激励。聂建国和陈宇等基于Young提出的连续傅里叶级数模型，逆向构建了包含五阶频率分量的标准单步落足“M”曲线，表达式为

(2)

式中：F(t)为单步落足力；t为时间；αi为第i阶动载因子；Te为单步足底接触时间，Te=1/0.76fp，fp为步频。

图2 模型A2和A3足底反力 Fig.2 Ground reaction force of model A2 and A3

如图2所示为体重80 kg，步频为2 Hz时的单步落足力，模型A2相对IABSE模型而言，加载方式能更加真实的反映人行走过程中的空间变化和双腿交替的过程，且不含初始相位，简化了模型参数。

1.2 考虑相互作用的SMD模型

1.2.1 模型A3：双足步行模型

BWM包含人体质量m、双腿弹簧k、阻尼c、冲切角θ和腿长l，如图3所示。BWM模型在行进过程中，每一步起始时刻人腿的轴向速度都不为零，Kim提出的腿部阻尼恒定假设会使得每一步的起始足底反力不为零。秦敬伟提出的具有时变阻尼和反馈机制特性的新BWM模型，使每一步的足底反力能从零开始并且保持人体平衡。

BWM与人体表观特征相近，具有以下特点：

(1)BWM将腿部简化为弹簧阻尼模型，通过支撑腿与随动腿的转换模拟人体系统的行走过程，产生的足底反力表现为单步落足曲线，与轻柔结构之间的相互作用会使得腿部收缩量增大，导致足底反力增大，如图2所示。

(2)BWM输入参数较多，且难以观测(如腿的支撑刚度等)；模型相对复杂，对于人群响应的应用难于实现。

双足模型数值程序验证工作可见文献[13]，此处不再赘述。

图3 双足行走模型Fig.3 Bipedal walking model

1.2.2 模型A4：ASMD模型Ⅰ

人体行走的过程中存在自激励现象，学者们在单自由度SMD的基础上，用简谐力来表示内部自激励，构建了具有内部自激励的ASMD模型[19]来模拟运动人体，如图4所示。图中弹簧、质量块和阻尼表示人-结构相互作用部分，A表示自激励部分。

Sliva和Pimentel等以20名受试者为研究对象，将加速度传感器安装固定在其腰部，基于ASMD模型，通过实验模态分析方法拟合得到了行走状态下的模型参数m，c和k，见下式：

(3)

式中：mh为人体质量；fp为步频；m，c和k为单自由度模型的质量、阻尼和弹簧刚度。

图4 单自由度行走模型Fig.4 Single degree of freedom model for walking

Sliva等取Kerr的前三阶傅里叶级数作为自激励，如式(4)所示，构建了ASMD模型Ⅰ。

(4)

式中：A1(t)为自激励，各参数的含义与模型A1相同，fp为步频；第二、三阶动载因子分别取值为0.07和0.05；第一阶动载因子表达式为

(5)

图5为人体质量为80 kg，步频为2 Hz的ASMD模型和Matsumoto等[16]静止站立模型的归一化表观质量幅频特性。从中可知，ASMD模型与静止站立模型不同，人体行走过程中只有部分质量参振。

图5 图 5人体归一化表观质量幅频曲线Fig.5 Normalized apparent mass response functions

1.2.3 模型A5：ASMD模型Ⅱ

Dey等[20]在轻型铝桥上开展了人致振动实验，实测响应中出现了显著的瞬态振动，包含各阶亚谐分量；采用不考虑亚谐分量的数值模拟结果瞬态响应十分微弱，不包含各阶亚谐分量；其只对主谐动载因子的取值进行了修正，并没有考虑亚谐分量。本文在轻质人行桥上进行单人行走实验时也发现，实测响应中出现了显著的亚谐频率分量，且随着人/结构质量比的增加，亚谐分量更显著；在亚谐共振区时，模型A1、A2和A4的计算结果与实测结果相比偏小，且存在亚谐频率成分缺失。

Zivanovic基于频域逆向构建了包含多阶主谐和亚谐分量随机时域荷载模型，每次构建单人荷载需在[0,2π]之间随机生成400个初相位，计算结果具有一定的离散性，需要获取统计结果，应用起来比较复杂。为便于揭示上述实验现象，在模型A4的基础上进行改进，引入Zivanovic的亚谐分量，将模型A4中的自激励改进为A2(t)，见式(6)，建立了ASMD模型Ⅱ。

(6)

(7)

模型A5包含了由于双腿交替不对称产生的亚谐频率分量，更加细致的反映了步行力特征。

2 荷载模型对比分析

将模型A1～A5应用到不同频率的结构上，比较各模型结果之间的差异性。人体质量取85 kg，步频为1.7 Hz，以模型A1为基准，只考虑二、三阶倍频共振，结构频率变化范围为2.0 ～ 5.5 Hz。双足模型参数依据谢伟平等研究取值为：质量为85 kg，阻尼比为8%，刚度为21.25 kN/m，腿长取1.0 m，冲切角为69°，初始输入能量为855.5 J。

定义标准加速度为：

as=apM0/mh

(8)

式中：as为标准加速度；ap为加速度峰值；M0为结构模态质量；mh为人体质量。

图6为标准加速度计算结果，模型A5由于包含步频亚谐分量，与其他模型相比存在亚谐共振区，从中可知：

(1)在亚谐共振区：除模型A3外，模型A5的计算结果与其他模型相比偏大；模型A3仅在二阶亚谐共振区时，其计算结果才表现为偏大，在高频区无明显偏大现象，与秦敬业等的结论一致。

(2)在倍频共振区：模型A1计算结果显著大于A5，表明不考虑相互作用会放大结构共振响应，这与Archbold和丁阳的结论一致；模型A5在二阶步频共振区与A3结果相当，在高频区共振区略大于其结果；A4的自激励动载因子偏小，所以计算结果较小。

图6 标准加速度计算结果Fig.6 The standard acceleration calculation results

3 荷载模型实验验证

本节在基频不同的两单跨简支人行桥上进行单人行走实验，验证上节的数值分析结果和ASMD模型Ⅱ的有效性。

3.1 刚度较小人行桥

3.1.1 结构模型

人行桥全长10.5 m，两边简支，计算跨度为10.3 m，宽1.0 m，该结构有未敷设混凝土和敷设混凝土前后两种状态，图7所示为未敷设混凝土状态。对敷设前后两种结构进行模态测试，结构动力特性如表2所列。

图7 人行钢桥(未敷设混凝土)Fig.7 Pedestrian Bridge (without deck)

3.1.2 实验结果分析

在节拍器的引导下，体重为85 kg的受试者S1在上述结构上进行了不同步频下的单人行走实验，实验工况详情及实测结果见表2所列，工况二为参考组。

表2 实验工况与结果

图8 工况二实测结果Fig.8 Measured result in case 2

图9 工况二实测结果频谱Fig.9 Measured result spectrum in case 2

图8和9为工况二实测结构跨中加速度响应时程和频谱，由图可知，响应频谱中包含了多阶主谐和亚谐频率分量，亚谐贡献突出。为了定量分析响应中亚谐分量的影响程度及变化规律，定义亚谐幅值比例系数μ和αi为：

式中：mi和si分别为响应频谱在第i阶主谐和亚谐频率处的幅值。

图10为四种工况下的比例系数μ和αi计算结果，由图可知，四种工况中亚谐分量处所贡献的结构响应幅值均占有较大的比重，比例系数μ高达37%～45%，其中以第二阶亚谐分量(与结构基频相近)占主导。工况一中各阶亚谐分量幅值都比较显著，与工况二相比可知，随着人/结构质量比的减小，μ减小而α2增大，其余各阶亚谐分量占比均减小。

以上分析表明：当人/结构质量比较大时，各阶亚谐分量所贡献的结构响应都会很显著；随着质量比的增加，亚谐分量的影响会减弱，并逐渐以基频亚谐分量的影响为主。

图10 比例系数Fig.10 The coefficient of proportionality

3.1.3 荷载模型验证

结构M1和M2的基频落入亚谐共振区，采用模型A1～A5对上述四种工况进行计算。受试者S1的双足模型参数为：质量为85 kg，阻尼比为8%，刚度为21.25 kN/m，冲切角为69°，腿长取1.0 m，工况一至四初始输入能量为依次为：858 J、858 J、866 J和876 J。

表3为上述四种工况下各模型跨中加速度峰值计算结果，由表可知，模型A1、A2和A4忽略了亚谐分量，与实测结果相比，其计算结果明显偏小，工况三中误差达到最大，分别为-31.0%、-32.7%和-49.6%。模型A3计算结果整体偏大，工况一中误差高达83.4%，这是因为结构频率较低，模型A3与结构产生了显著的相互作用所致。模型A5的计算结果与实测相比，工况三中误差最大，高达13.02%；这是因为人体行走过程在一定程度上具有变异性，不能完全产生亚谐共振；相比之下，A5与实测结果吻合较好。

为了进一步验证A5的适用性，令体重分别为60.5 kg、64.5 kg和73.5 kg的三受试者S2、S3和S4在节拍器的控制下，在结构“M2”上以亚谐共振步频1.855 Hz行走。

表4为S2-S4的实测与数值结果，从中可知，A5的误差在10% 以内，与实测结果吻合较好，其余模型的误差与S1的结果一致。

表3 S1的实测与数值结果

图11为工况二的加速度时程和频谱，模型A4与A1的频谱特性相近，A2与A3的频谱特性相近，故只给出了模型A1、A3和A5的频谱。从中可知，模型A1～A4的频谱基频响应贡献偏小，模型A5的基频响应显著，且包含相应的亚谐分量，与实测结果吻合较好。

表4 S2-S4实测与数值结果

以上分析表明：当结构基频落入亚谐共振区时，亚谐分量影响非常显著，忽略亚谐分量，会导致计算结果偏小，模型A5在时频域均与实测结果吻合较好。

图11 工况二模拟结果Fig.11 Simulation results in case 2

3.2 刚度较大人行桥

将结构“M2”的跨度调整为8.4 m，经模态测试得结构基频变化为4.297 Hz，记为结构“M3”，此时结构基频落入二阶步频共振区，可进行倍频共振验证工作。使S2-S4在节拍器的引导下，在结构M3上以共振步频2.148 Hz行走。

表 5 所列为实测与数值模拟结果，S4的跨中加速度时程图和频谱图如图12所示，由图可知，结构产生了共振现象。由表可知，模型A1和A2的计算结果显著偏大，平均高于实测结果70%以上，结果偏于保守；模型A3～A5的计算结果与A1和A2相比，与实测结果较为接近，A3的最大误差为39.6%，A5最大误差为34.5%，能更好的预测结构共振响应。

以上分析结果表明：不考虑人-结构相互作用的荷载模型，其共振响应预测结果会偏于保守；考虑相互作用的SMD模型能更好的预测结构共振响应，其中模型A5能在相对较小的偏差范围内预测结构共振响应。