渗透数学思想方法，提高解决问题的灵活性——谈在分数乘除法应用问题教学中数学思想方法的渗透

李鹏辉

（福建省长汀县南山中心学校，福建 龙岩）

在过去，分数乘除法应用题都是独立编排章节的，一线老师在长期的教学实践中引导学生总结出一些解决分数乘除法应用问题的诀窍：一找（单位“1”）；二看（单位“1”是已知的还是未知的）；三判断（已知单位“1”用乘法计算，未知单位“1”用方程或除法计算）。有的还不乏让学生根据一些关键字词来找单位“1”，如“是”“占”“比”“相当于”等字词后面的量就是单位“1”。让学生死记硬背。但是教学效果却并不理想，失分率仍然很大，主要就是因为这样的教学方法“让记忆替代了思维，刻板压抑了灵活。”不利于学生长效发展。2013年审的新人教版教材把分数乘除法应用题作为分数乘除法计算教学过程中的“解决问题”的例题来进行安排，加强了与学生生活实际的联系，更注重数学思想方法的渗透，为使学生进一步加深对分数乘除法算理、算法的理解提供了载体。因此，在分数乘除法应用问题的教学中运用数形结合思想、对比思想、转化思想、发展创新意识等是帮助学生深入理解数量关系、提高学生解题灵活性的有效途径。下面结合教学实践谈谈本人的一些浅显做法。

一、利用数形结合，提高学生解题的灵活性

分数乘除法应用问题的教学常常让教师棘手，令学生头痛。怎样才能让学生快速地找到解题方法，提高学生解题的灵活性呢？在教学过程中可以运用数形结合的思想，借助形的直观性来呈现题中所蕴含的数量关系，使其直观明了化，化抽象的问题为具体，提高学生解决问题的技巧和能力，同时也拓宽学生的解题思路。

例如，在教学新人教版六年级上册第13～14页例8《连续求一个数的几分之几是多少的问题》（原题：这个大棚共480 m2，其中一半种各种萝卜，红萝卜地的面积占整块萝卜地的红萝卜地有多少平方米？）引导学生用一张长方形的纸来表示整个大棚，让学生折出或画出红萝卜地的面积（如下图）。这样，学生在折或画的过程中就很直观形象地理解了“其中一半种各种萝卜”，从而求出萝卜地的面积是再把萝卜地平均分成 4 份，红萝卜地占其中的1份，最终得以解决问题：红萝卜地的面积是有的学生还从图中看出“红萝卜地占整个大棚面积的”，即，从而求出红萝卜地的面积也是480×

当然，在解决分数乘除法应用问题时还可以引导学生画线段图来分析数量之间的关系。但要注意应先画出单位“1”的量，因为它是比较的标准；然后画出对应分率的量；最后标出条件和问题。学生在画线段图的过程中，也就理解了其中所蕴含的数量关系，从而进行正确地解答。

二、巧用对比思想，提高学生解题的灵活性

分数乘法的应用问题和分数除法的应用问题是紧密联系的，但学生在解题时往往又容易把它们的解题方法混淆。因此在教学完分数乘除法的应用问题后要引导学生加强对比，让学生在对比中思辨、在对比中纠错，同时也在对比中求新，从而提高学生解题的灵活性。

例如，新人教版六年级上册第40页第10题，就是一组很好的对比题。原题是这样的：有一组互相咬合的齿轮。

（1）大齿轮有140个齿，小齿轮的齿数是大齿轮的。小齿轮有多少个齿？

（2）小齿轮有28个齿，是大齿轮的大齿轮有多少个齿？

（3）小齿轮每分钟转400周，大齿轮每分钟转的周数比小齿轮少大齿轮每分钟转多少周？

（4）大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少小齿轮每分钟转多少周？

在教学时，可引导学生进行横、纵两个方向的对比，让学生深入理解题中所蕴含的数量关系。

横向对比时：先引导学生比较第（1）（2）小题，根据“小齿轮的齿数是大齿轮的”，让学生明白这两小题蕴含有相同的数量关系，即“大齿轮的齿数齿轮的齿数”。但这两小题又有不同点，第（1）题是已知大齿轮的齿数，求小齿轮的齿数，用算术方法“乘法”计算就可以求解；而第（2）题是已知小齿轮的齿数，求大齿轮的齿数，要用方程列式或用“除法”计算才可以求解。然后引导学生比较第（3）（4）小题，根据“大齿轮每分钟转的周数比小齿轮少”，使学生明白这两小题也有相同的数量关系，即“小齿轮每分钟转的周数大齿轮每分钟转的周数”。不同点仍然是解法不同。

纵向对比时：先引导学生比较第（1）（3）小题，由于大齿轮的齿数多，所以大齿轮每分钟转的周数就更少。因为“小齿轮的齿数是大齿轮的”，所以“大齿轮每分钟转的周数就是小齿轮的（1-），正好要反过来。解题方法都是用算术方法“乘法”计算。然后引导学生比较第（2）（4）小题，同理可知，题中所蕴含的数量关系跟第（1）（3）小题是相同的，但解题方法不同，要用方程列式或用“除法”计算。

三、运用转化思想，提高学生解题的灵活性

分数乘除法应用问题与“份数、比、按比例分配”等知识都有内在联系。在解决实际问题的过程中运用转化思想，引导学生利用新旧知识将未知问题进行变换，转化成已知问题，也就是说把一些数量关系较为复杂、隐蔽的问题通过转化，使学生更容易理解题意，更快地找到解决问题的方法，从而提高学生解题的灵活性。

四、发展创新意识，提高学生解题的灵活性

创新意识是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增加的核心概念，创新意识的培养更是现代数学教育的基本任务。作为教师在教学过程中要有意识地为学生提供适当的材料，让学生去实践、去发现、去讨论、去思考，从而发展学生的创新思维，提高学生的解题应变能力。在分数应用问题的解决过程中，其关键是学生要能正确理解“含有分率的句子”，因此，在教学中要引导学生看到“含有分率的句子”，就能自觉地从不同的角度去挖掘“分率句”的含义。

例如，当学生看到“某班男生人数是女生人数的”时，引导学生思考：“看到这句话你还能想到什么呢？”

生1：男生人数是4份，女生人数是这样的5份，全班人数就是这样的9份，男生占全班人数的，女生占全班人数的

生2：女生人数比男生多，男生人数比女生少

生3：男生比女生少的人数占全班的，女生比男生多的人数也是占全班的

生4：男生和女生的比是4：5，女生和全班人数的比是5：9。

……

通过这样的训练，学生的思维展开了、流畅了，知识之间的内在联系也沟通了，那么学生解决问题的方法就更灵活了。

又如，有这样一道题：“甲、乙两个数的和是124，已知甲数的与乙数的相等，求甲、乙两数各是多少？”引导学生从不同的角度去思考，便可得到不同的解法。

解法一：找已知数的对应分率。

因为所以甲数，即甲数是乙数的由此可以想到甲数占两数和的乙数占两数和的解得：甲数是；乙数是

解法二：按比例分配的方法。

根据，得到甲数由此可知：甲数占16份，乙数占15份，两数和是31份。解得：甲数是 124÷31×16=64；乙数是 124÷31×15=60。

解法三：列方程的方法。

设甲数为x，那么乙数是。列出算式124，解得甲数 x=64

解答完后，引导学生从多种解法中筛选出简捷、创新的解法，提高学生解题的灵活性。

总之，在分数乘除法应用问题的教学中还可以渗透其他丰富的数学思想方法，如“类比思想、模型思想、对应思想……”在解决问题的过程中还可以有机地进行多种思想方法融会贯通，交互渗透，进一步培养学生解决问题的能力，促进学生数学素养的提高。

参考文献：

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［2］黄秀芬.小学分数乘除法应用题教学的问题与策略［J］.求知导刊，2014（6）：108.

［3］张萍.对分数乘除法应用题教学的几点认识［J］.赤峰教育学院学报，2000（4）.

［4］姚仁毅.分数乘除法问题解决的教学策略刍议［J］.科学咨询（教育科研），2010（12）.

［5］程龙琴.例谈分数乘除法应用题教学中数学思想方法的渗透［J］.小学教学研究，2011（11）：83-84.