让数学探究在慢节奏中取得实效——以苏教版教材五年级上册“三角形面积的计算”的教学为例

江苏淮安市实验小学新城校区（223001） 张 超

“三角形面积的计算”是苏教版教材五年级上册的内容，这部分内容的学习难点是理解“除以2”的意义。推导三角形面积计算公式需要很强的探究性，但学生的最近发展区严重制约着探究效率，使得很多探究活动流于形式，只见动静大，未见真效果。有时探究刚刚有“眉目”，便因时间有限而被紧急叫停。那么，如何才能让探究真正落到实处呢？现笔者以“三角形面积的计算”的教学为例进行论述。

一、分解步骤，扎牢探究基础

要想引领学生，首要的是找准学生的学习起点。通过前测发现，大多数学生习惯用直角三角形进行研究，通常先画出直角三角形，然后割补成长方形，再得出三角形的面积；少数学生选择用等腰三角形进行研究，沿着等腰三角形的底边中线裁剪，然后拼贴成长方形，从而间接求出三角形的面积。前测中，学生自动摒弃用任意三角形为模型的想法，道理很简单，直角三角形和等腰三角形更容易转化成长方形。

要实现真正的“数学探究”，应该创设足够的思考、尝试、推理、表达的空间，放手让学生探索如何推导三角形面积公式，让学生在具体实践中自主发现，体验到自主发现、自主解决问题的成就感。

依据前测，笔者决定放缓节奏，循序渐进，将探究过程延展成以下三个层次。

第一层次，探究直角三角形的面积求法。

学生自主探究出两种方法（见图1）。

图1

受直角三角形特殊性的影响以及自身经验的限制，在第一层次探究中，学生并未采用教材提供的“平行四边形拼合法”，基本上都是用图1的两种方法。方法一：将两个直角三角形拼合成一个长方形，求其面积的一半。方法二：将直角三角形沿某条直角边的中位线剪切，然后拼贴成一个长方形，拼贴后的长方形与原三角形面积相等，长方形与三角形同底，高则是其一半，于是得到三角形的面积=底×（高÷2）。

看着自己的探究成果，学生变得自信起来。

第二层次，探究等腰三角形的面积求法。

学生创造出四种方法（见图2）。

图2

以直角三角形的探究为基础，学生的思路彻底打开了，实现了“真探究”“真交流”。结合等腰三角形的特性，学生共创造出四种方法。整体思路是将原图形进行等面积的割补变换，“方法四”中的整体旋转复制法，虽然只有两位学生想到，但这已经是自主探究的飞跃。

第三层次，探究任意三角形的面积求法。

学生共创造出三种方法（见图3）。

图3

在展示汇报后，学生的思维轨迹暴露无遗，教师就可以顺着学生的思路进行引导，将最大的发挥空间留给学生，使学生经历多元化思维。探究任意三角形面积求法确实比探究直角三角形面积难度大，但是转化思想是一个渐进的过程，学生通过前两次特殊三角形的转化实践，对于任意三角形的转化也能慢慢熟练起来。

二、真实互动，渗透数学思想方法

“为什么用任意三角形为素材可以研究出三种方法？而用等腰三角形研究还多出一种方法？”学生在对比质疑中发现，对于前一个问题，以任意三角形为素材研究出的三种面积求法中，图3的“方法一”和“方法二”属于一类，都是将三角形扩充至2倍大小的四边形（“方法一”转化是为平行四边形，“方法二”是转化为长方形）后再还原成原来的面积大小，所以要除以2，是先求面积再除以2，而“方法三”则是将三角形转化成等面积的长方形，除以2的理由是三角形的高在中点处被切断，是先除以2后再求面积。对于后一个问题，等腰三角形比任意三角形多出一个“方法二”（如图2）——将等腰三角形沿着底边中线（高线）切割，分成两个全等的直角三角形，然后演变成直角三角形中的“方法一”。当学生用一幅幅生动的图画解析问题时，一部分学生深受启发，在惊叹“我怎么没想到”之余，感知到特殊三角形和一般三角形之间的异同，从而归纳出一般性结论，总结出三角形面积的计算公式：S=a×h÷2 或 S=a×（h÷2）。可见，推导三角形面积的计算公式时，要着眼长远，开放式地整体构架，以“自主探究”贯穿全程，在“三探三思”中，以探究为横线，以交流为总线，做理性探索。因为教师没有过多的干涉和要求，所以学生的转化方法百花齐放；因为教师没有过分的干预和掣肘，所以学生在探究活动中更深入，更收放自如，经历了“形变”到“质变”的思维过程，体验了公式的来历和原理，学会了从特殊到一般进行合情推理，能够用不完全归纳法得出三角形面积的计算公式，感悟到转化、归纳、抽象等数学思想。

三、放慢节奏，让探究变得真实

在教学三天后，再次安排测试。测试题如下。

正是由于体验维度扩展了，积淀变得更有层次感。测试结果显示，在公式中遗漏“除以2”的学生只有一个。这样，推导三角形面积的计算公式，从调查到测试，每个步骤都分散穿插于各教学课时的正常教程之中，潜移默化地完成了“三角形面积计算公式”的探究活动，耗时5天。

三个层次的探究，学生的体验是深刻、丰富、积极的，探究成果是丰硕的，上台交流是热情洋溢的，这种成功的体验是终身铭记的。其实，对于教材中的教学内容，机械重复练习实在没有必要，而探究活动却值得我们花费大量心血去设计规划。作为教师，应该为探究性强的内容规划一条较长的教学路线，拉长战线，与其一课时教完三角形面积内容，再花费大量时间去做巩固练习，一点点地试错、纠错慢慢积累，倒不如放慢步子，循序渐进，分步推进，让探究活动变得真实有效。