以形助数，让计算教学走向深刻——以“两位数乘两位数”的教学为例

江苏南京市长江路小学（210018） 殷 芊

一、直观操作：多途径解决问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“计算教学既需要让学生在直观中理解算理，也需要让学生掌握抽象的法则，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象方法的过渡和演变过程。”以形助数的思想，能够将抽象的算理与直观的几何图形结合起来，使抽象思维与形象思维有机结合起来，从而帮助学生掌握算法的同时借助直观图形深刻理解算理。

教学“两位数乘两位数”时，很多教师都会直接出示课本上的例题“12箱迷你南瓜，每箱24个。一共有多少个？”，接着就要求学生用自己喜欢的方法进行求解。学生在交流自己是怎样算的时候，往往局限于依着算式来说自己是怎样列式的过程中，学生似乎已经懂得了方法，却又无法表达得很清楚。于是，我对该例题进行了创编：“十岁成长礼的啦啦操表演中，每行有14人，有12行，一共有多少人？”，并出示点子图，让学生能够依托于点子图清楚地表达自己的算法。

【教学片段】

师：14×12的结果究竟是多少呢？你能想办法找到它的答案吗？

生（齐）：能。

师：每位同学在课前都拿到了一张学习单，请大家完成学习单。

学习单内容：

（1）用你喜欢的方法计算14×12。

（2）把你的想法在点子图中圈一圈、画一画。

（3）你还能想到其他方法吗？

生1：我把12拆成6和6。先算出一半的人数“14×6=84（人）”，然后再算“84×2=168（人）”。（如图 1）

生2：我把 12 拆成 10 和 2，先算“14×2=28（人）”,再算“14×10=140（人）”,最后把两部分求得的人数合起来，即“28+140=168（人）”。（如图 2）

生3：我是把14拆成10和4，先算4个12，再算10个12，最后得到168。

图1

图2

这一环节的教学，鼓励学生用已经学过的知识独立解决问题，并尝试在点子图中展示自己的计算方法。在圈画的过程中，学生经历了用图示表达算理的过程。不同算法的交流和分享，通过点子图清晰地呈现在课堂上。

在汇报交流算法时，我引导学生结合点子图进行了两次对比：第一次对比，找寻不同算法之间的共同点，从而渗透转化思想；第二次对比，既沟通了竖式计算与口算方法之间的联系，也在对比中突出了竖式计算的简洁美。

二、动静结合：形象化理解算理

在尝试计算“两位数乘两位数”时，大部分学生都能运用竖式进行计算，并且结果都正确。学生似乎已经掌握了两位数乘两位数的计算方法，但从几个学生的回答中可以发现，他们的方法是根据以往的知识基础和学习经验迁移而来的，学生根据知识基础和学习经验很容易就想到两位数乘两位数可以用竖式计算，但面对如何书写乘积后的结果（第二步）十分困惑。

【教学片段】

课件出示图3。

图3

图4

师：我们在点子图中找到了计算的过程，那绿色方框里的表示的是几个几？

生1：8 个一。

师：红色方框里的呢？

生2：6个十。

师：黄色方框表示1个百。

师：相同数位要对齐，这里的数位还没有对齐。现在我们让它对齐。（如图4）

师：再来看看这张点子图，你有什么感觉？

生3：点子图和竖式的结构是一样的。

生4：竖式计算的每一步计算结果，在点子图中相同的位置也能找到。

师：是啊，一张神奇的点子图帮助我们找到了计算的道理。

在学生理解算理存在困难时，教师巧妙地借助模型，利用数形结合帮助学生体会两位数乘两位数竖式计算的道理，并结合分形图，引导学生观察和思考，从而发现并建立数学符号与操作活动之间的联系。结合动态图的演示，将操作活动抽象为竖式的数学化过程，“一张会动的点子图”再次让学生体会竖式计算每一步的合理性，从而达到借助直观模型理解两位数乘两位数的算理的目的，实现算理直观化。

三、巧妙画图：多层次提升思维

计算练习，目的是让学生巩固两位数乘两位数的笔算算理。为此，教师设计了三个层次的练习。第一层次，用竖式计算两道题，这两道题的选择各自有着不同的作用。第1题“41×22”，通过追问“两个82的含义一样吗？”，再次强化竖式计算的算理；第2题“12×14”是为了告诉学生，计算两位数乘两位数时可以调换乘数位置再乘一遍进行验算。第二层次，教师选取在前测中发现的典型问题，鼓励学生借助新知分析错因，这样，问题来源于学生，也经学生之手解决。第三层次，让学生自己编题，在开放中引导学生思考什么情况下积最大，培养学生的问题意识和解决问题能力。

【教学片段】

师：我们玩一个数学游戏。这有写了1、2、2、3的四张数字卡片，请编一道两位数乘两位数的算式。能编几道？在这么多的算式中积最大的是哪个？

（学生在进行编题的过程中，列出6种算式，得出要使积最大，则两位数的十位必须是最大的两个数，通过排列则有“32×21=”和“31×22=”两种）

课上到这里就结束了，但是学生的研究却还未止步。课后，有学生提出：“我会一种求解积最大问题的简便方法。如图5，把全部的数字按从大到小的顺序排列在u型上，很容易就得出组成的两位数31和两位数22相乘得到的积最大。”

图5

在练习中，学生再次借助图形巧妙地解决了问题，也再次感受到图形不仅对理解算理有帮助，也能进一步优化解决问题的方法。

“随风潜入夜，润物细无声。”数学思想方法的渗透应当像春雨一样，不断滋润着学生的心田，能够真正促进学生创造性地玩数学，让学生自觉地依托鲜活的数去思考抽象的数。

数形结合思想不像数学知识、解题方法那样具有某种形式，不可能靠一朝一夕、一招一式就能实现。因此，教师要从学生发展的全局出发，从具体教学过程着手，结合教学内容适时适度渗透数形结合思想，使数形结合思想和其他数学思想能够融合运用于数学活动中，这样，数学思想方法便能“落地生根”。