紧扣问题本质，驱动自主建构——“解决问题的策略（转化）”磨课实践与思考

江苏如皋市外国语学校（226500） 丁 洪

江苏如皋市教师发展中心（226500） 洪荟春

从三年级开始，苏教版教材每一册都安排了以策略为主题的单元学习。“转化”是继“从条件想起、从问题想起、列表、画图和一一列举”之后的又一次策略专题的学习。在以前的学习中，学生已经接触过“转化”现象，也运用过“转化”解决问题，但只是停留在方法层面，是由外而内输入的，常见于讲解、示范、模仿等被动性学习行为中，零散而且不系统。

教育就是要“把学生带到高速路口”。那么，学生对转化策略自悟的“高速路口”在哪里？进入高速路之后，学生需要怎样做才能高效通过？目标达成后，“高速出口”又在哪里？抱着“在前方等你”的美好愿景，我们团队经历几次磨课，对策略主题的教学形成了自己的主张，课堂渐渐有了“策略味”。

一、第一次执教：重在梳理方法

1.教学设想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》的课程总目标在“解决问题”方面要求学生“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。从学习发生发展的角度看，基本方法是解决问题的基础和起点，解决问题的策略的教学关键是对方法的把握和实践。基于这样的理解，结合“解决问题的策略（转化）”这一课的实际，我们准备借助各种典型问题，在具体情境中对转化方法进行针对性的梳理，以促进学生从“无意识体验”走向“有意识运用”，进而达成策略教学的目标。

2.教学设计

（1）解决问题中感知策略

师（出示两个长方形）：它们的面积谁大谁小？（演示图形完全重合）能猜中规则图形的面积并不稀奇，（出示例题1，略）这两个图形的面积又怎么比较大小呢？图形在材料袋中，可以尝试画一画或者剪一剪。

师（在学生展示操作的过程中，教师用课件演示“裁剪、平移和拼接”，引导学生感知转化是有方向的）：遇到不规则图形面积的问题，一般可以怎么做？转化的过程中运用了哪些方法？转化前后，什么没有变？

（2）回顾整理中体验策略

师：在以前的学习中，我们曾经运用转化的策略解决过哪些问题？

师（在“空间与几何”板块，以平面图形面积为例，引导学生回顾三角形、梯形、圆和平行四边形面积计算的转化过程；在“数与代数”板块，以数的运算为例，引导学生回顾乘数是小数的乘法、除数是小数的除法和异分母分数的加减法的转化过程）：除此之外，你还能举出哪些转化的例子？（教师通过对话和对比、归纳和概括，引导学生体验转化的方法）

（3）模型建构中领悟策略

师：通过刚才的学习，我们已经知道转化有两个关键：一是转化的方向，也就是“化难为易”“化未知为已知”，要把准；另一个是转化的方法，如“平移和旋转”“移多补少”，要合适。方向确定之后，方法要恰当。

师（出示题组，略）：这几道题可以用什么方法来实现转化？（学生操作，总结出“变形法”“数形转化”“分割法”“条件（关系）转化”等转化方法）

（4）拓展应用中内化策略

师：有了转化的方法，思考就有了“拐杖”。转化不但能够让我们顺利解决问题，还能让我们生长智慧。（出示图1）“楼梯上铺红地毯的长度”“堆积成梯形的木头根数”“直角三角形累积而成的棱柱的体积”。每组选一道或几道题，想办法解决问题。（学生小组活动，教师巡视参与，最后展示与交流）

图1

3.教学反思

对于小学生而言，策略学习依赖问题情境和具体方法。怎样处理好“方法”和“策略”的关系，引导学生从“具体方法”过渡到“策略意识”，从“外力帮扶”转变成“自主建构”，这个问题值得教师深思。从第一次执教的效果来看，教师对“关系”的度没有掌握到位。首先，教学的重心定位不准。教学突显了转化方法，但是策略意识被弱化，因为“一步一景”式的梳理，总给人“以学备用”的感觉，而且方法迁移范围小，学生更多的是模仿，情境稍加变化，或者难度稍有提高，学生就会手足无措。其次，方法缺少深度。一是比较的对象不全面，只有一种或几种方法参与，没有形成系统的方法板块；二是比较的内容单一，只发生在相同点和不同点之间，没有建立具有一般性的数学模型。最后，学生学习的主动性没有彰显。课堂上都是教师在前面带着，学生只需要“走马观花”，最终导致“雾里看花”。一句话概括，第一次执教“方法用心教得多，策略实则悟得少”。

二、第二次执教：重在比较方法

1.目标定位

不同版本的教材，或多或少都安排了策略主题的学习，我们可以把这种“步调一致”的行为，看作是对现实需求的回应，对原有教材编排的反思和对人才培养的预设，这不是偶然举动，而是共同愿景。因此，相关策略内容的学习，要把策略当成知识，还要概括方法、培养能力和渗透意识，让学生在对接数学世界和生活世界时，都能有所思考和作为，甚至是有所创造和创新，这也许才是教学设计的初衷。基于这样的理解，我们对第一次教学目标进行优化，具体分三个层次：（1）转化的需求要“真”，渲染转化的迫切性；（2）转化的方法要“深”，建构转化的系统性；（3）转化的应用要“转”，体验转化的适用性。

2.教学实践

首先是删除“考眼力”的游戏，直接出示例题，让学生直面问题。在学生经过“在方格图中，解决不规则图形可以使用什么方法？”的辨析，在“数格子”和“转化成规则图形”之间做出选择之后，教师可安排一个完整的活动，通过“认真观察图形的特点，想一想可以怎样转化？动手试一试。”“转化前后图形的什么没有变？”和“问题的结论是什么？”等问题导学，让“牵引的教学”转变成主动的探索与展示。在对比中引导学生感知“转化的方法虽然不一样，但是转化的方向是一样的，都是将不规则图形转化成规则图形”。更进一步，将这样的“转化”方法提炼为“等面积转化”。

其次是回顾整理环节，将零散的知识系统化，在加深认知的同时提炼策略。如对“平面图形面积计算”的整理，分纵横两条线展开，共三个层次。一是横向比较，感知方向。“仔细观察，在这里的转化中，你发现了什么有趣的联系？”引导学生横向联系，体验转化是有方向的，是从将知转化成已知。二是纵向比较，感知方法。“哪些图形的面积转化是等面积转化？”“三角形和梯形的面积转化为什么不是呢？”引导学生纵向对比，体验转化是有方法的。三是纵横对比，感知策略。无论是等面积转化，还是非等面积转化，都是从有利于解决问题这个角度进行演绎的。

最后，在练习中适时归纳出“等周长转化”“等体积转化”等转化模型，并以此类推到其他问题情境。在小结时注重转化体验的整合，“方法可以多样，或好或差，但是‘转化’研究的对象没有改变，也不能改变。”也就是说，变化的是数学的方法外形，不变的是转化的内在本质。

3.再次反思

第二次执教中，教学的板块更清晰，也更有层次性，活动中有学生的自主探究，也有策略的概括和提炼，有学生“生态”的思维展示，还有辨析之后的模型建构。因为教学目标定位相对合理，数学思考直击转化的本质，即等量代换。学生经历了转化策略的“驱动发生→对比建模→拓展内化”的全过程，从教学效果来看，学生的策略意识和转化能力明显提高，欣喜进步的同时也有了更多思考。

思考一：缺少统摄全局的问题。学习板块有层次，但板块之间的关联性不强，到底什么样的问题才能驱动整个教学过程呢？

思考二：认知回路没有形成。能不能打通数学与生活、现在与历史、数学与其他学科之间联系，让学生感受转化策略运用的广泛性、适用性、灵活性和创造性呢？

思考三：学习的目的性不强。转化策略服务于问题的解决，还是培养学生解决问题的能力？即转化策略存在的价值到底是什么？

因此，第二次执教也可以概括成一句话，那就是“知识有深度，整体不通透”。

三、第三次执教：扣本质巧建构

首先，根据“转化所蕴含的数学教学的本原性问题是不变量思想以及相应的等量代换方法”，我们找到了统摄全局的问题，设计了串起教学过程的“问题链”，即“是怎样转化的？（外观其形）”“为什么可以这样转化？（内辨其理）”“一定是这样转化吗？（内外平衡拓其思）”。前面两个问题指向问题本身，第三个问题直指学生能力。此外，我们还找到了与“转化”相关的小故事、数学史和其他有趣的应用，希望能够让“转化”的学习变得有深度且有温度，有意义且有意思。

以下是第三次执教的教学片段与思考。

【教学片段1】故事中引入转化

1.激趣引入

师（课前组织学生观看《曹冲称象》）：你觉得曹冲是个怎样的孩子？（谈话围绕“智慧”展开）

师：把大象的“大”转化成石头的“小”，从不方便称重到顺利解决问题，曹冲真聪明。

师：为什么要在船舷上刻下一道横线？

师：我们穿越到过去，试着从曹冲的角度再想想，大象的重量还能转化成什么？

2.揭示课题

师：小故事，大智慧。转化能帮助曹冲称象，又能帮助我们解决什么数学问题呢？

【思考：好的教育润物无声，数学教育也不例外。教学先从学生喜欢的故事开始，让学生在欣赏中感知曹冲称象的智慧；接着，结合故事情境剖析内在智慧，并沿着预设的“问题链”层层深入，有序揭开转化的面纱。这样的深度对话，使知“智慧事”转变为辨“智慧理”，让转化的初体验从模糊变得清晰，不但有效激发了学生的转化意识，还为学生的后续学习提供了思考样式。】

【教学片段2】操作中感知转化

师（出示例题1，略）：要比较这两个平面图形的面积大小，你打算怎么做？（教师指出数方格方法有误差，再结合不规则图形的特点，引导学生感知比较面积大小需要转化成规则图形；操作活动的内容与第二次设计相差不大，但是汇报的层次和重点更突出：围绕预设的“问题链”，说清楚转化的过程，辨析转化中的不变量，注重发散思维能力的培养。）

师：回顾解决问题的过程，你有什么体会？（交流的重点是转化中的方向、方法和等量代换，并突出转化方法总是服务于转化方向，转化的前提是等量代换。）

【思考：例题中的图形虽然不规则，但特征相对明显，通过“移多补少”的办法，将其转化成规则图形并不困难。但是，问题解决不是转化策略学习的全部，需要教师对教材进行二次开发，从单一遵从“问题解决”转变为发展看待“解决问题”。因为有这样的理念支撑和“问题链”的指引，学生才能够最大限度地自主探究，转化的方向、转化的方法和等量转化的前提才能突显，尤其是方法的多样性与方向的一致性的对比，使转化策略的学习从零散走向系统，并为走向深刻做好孕伏。】

【教学片段3】整理中体验转化

师：在以前的学习中，我们曾经运用转化的策略解决过哪些问题？

（1）面积公式。（纵横对比，感知转化的方向和方法，与第二次设计相差不大。不同之处在于，判定“求三角形和梯形面积属于非等面积转化”之后，引入微课视频，介绍刘徽“以盈补虚”的数学史。）

（2）数的运算。

（3）其他转化。

师：转化真是无处不在呀！数学家路莎·彼德曾说：“解题时，往往不对问题进行正面的攻击，而是将它不断变形，直至转化为已经能够解决的问题。”

【思考：策略专题的回顾与梳理目的明确：一是感知转化范围的广泛性；二是体验转化方法的适用性；三是把握转化作用的建构性。教学的明线是对不同知识的回顾，暗线是对相同思想方法的整理，尤其突出面对新的、复杂的问题时，“应对策略”的合理选择和“具体方法”的灵活运用。相比前两次执教，纵横对比的层次更分明，加上数学史的有机渗透，推进了学生对转化方法的把握，对转化方向的聚焦，以及对转化体验的感悟。】

【教学片段4】练习中建模转化

师（出示问题：楼梯上要铺多长的地毯？）：转化前后什么没有变？还可以怎样转化？

师（出示问题：练习十六第2题，如图2）：用分数表示各图中的涂色部分。

图2

师：从涂色部分入手。先将中间四个整格描出，并把剩余部分的三角形，两两拼接成长方形，合起来一共是10格，最后算出涂色部分占整个图形的几分之几。从空白部分入手。先将空白部分的四个三角形两两拼接，转化成两个长方形，得到空白部分是6格，那么涂色部分就是10格，换个角度也能顺利解决问题。

师：如图3，一个空瓶子，装入一部分水，为450mL；把瓶子倒过来，空白部分是150mL。这个瓶子的容积是多少mL？（引导学生观察空白部分的等量变形）

图3

师（出示：司马光砸缸（人离开水→水离开人）；哥尼斯堡七桥问题（生活问题→数学模型）；埃舍尔镶嵌图形（简单图形→艺术作品））：通过今天的学习，你对“转化”有了哪些收获和体验？

【思考：策略学习离不开问题情境，但是具体的问题纷繁复杂，需要教师将其整合并有序呈现。练习中以“空间与几何”板块为主，内容涉及图形的周长和面积，以及容积的等量变换，等等。显然，沿着知识逻辑上升的顺序来设计练习，贴近学生实际，容易驱动学生把控转化的方向，找到恰当的转化方法。当换个角度思考成为常态时，学生的策略意识也就“在状态”。最后一个环节是从课内走到课外，引导学生从更广的范围来理解转化，感受转化还可以彰显智慧、建构知识和创造艺术，在促使学生形成认知回路的同时，将转化从“数学问题”变成“热点话题”。】

至此，可以确认，转化策略自悟的“高速路口”就是转化的本质，即“不变量思想以及等量代换”，紧扣这个本源性问题设计的“问题链”其实就是一条“智慧链”，它可以串起教学板块，支撑数学思考，开启智慧之门；进入“高速路”之后，需要加强转化方法的纵横对比，引导学生感知外在转化方法的多样性与内在转化方向的一致性的和谐统一，为提炼策略做好铺垫。此外，还需要在具体情境中运用策略，从方法到方向聚焦思考，从方向到方法发散思考，为内化策略做好积淀。那“高速出口”又在哪里？我们认为，不应该拘泥于数学本身，可以从“视域融合”角度系统感知转化价值，引导学生从认识到认知，再到全面认同，以激发学生对“转化”的热爱和向往，也许这个比学习转化策略本身来得更重要。