圆弧检测结果的不确定度评定

2018-07-30邓杨扬邓水平

中国重型装备 2018年3期

邓杨扬陈昶邓水平

(1.西南交通大学机械工程学院，四川610031；2.二重(德阳)重型装备有限公司检测中心，四川618013；3.国家重大技术装备几何量计量站，四川610199；)

1 概述

圆弧的半径值和圆心位置是通过间接测量法得到的。通常是在圆弧上先采集数据(坐标点)，然后通过对采集数据进行计算处理，得到圆弧的半径值和圆心位置，如大多数三坐标测量机测量圆弧都是通过对圆弧上的检测数据(坐标点)进行处理，得到圆弧半径值和圆心位置。对于圆心角小于45°的圆弧，由于采集坐标点的不确定度和间接测量传递系数的影响，圆弧的圆心位置的测量误差很大，其圆弧半径的测量误差也随之增大。

本文用测量不确定度评定指南方法(GUM)和蒙特卡洛方法(MCM)对小圆心角圆弧的圆弧半径值和圆心位置的不确定度进行评定、比较，说明蒙特卡洛方法的一般流程及优势，分析半径值及圆心位置的测量不确定度的原因。

2 圆弧样板测量不确定度评定

本文以GLOBAL silver Performance 07.10.07为例，对半径为50 mm的工件进行测量，圆心设定为(0，0)，用GUM方法对其进行不确定度评定。

(1)检测设备的计量特性

MPE：(1.5+2.8L) μm

MPEP：1.5 μm

(2)工件

圆弧半径：R50 mm

公差：±0.50 mm

圆心半角：2°

(3)测量参数

圆弧直径及测量不确定度：UR0

圆心位置及测量不确定度：Ux0、Uy0

2.1 GUM方法

2.1.1 间接测量圆弧的模型

根据一般圆的方程：

x2+y2+ax+by+c=0

将l(x1，y1)，m(x2，y2)，n(x3，y3)代入方程后，求得圆心坐标点为：

x0=[(x12+y12)(y2-y3)+(x22+y22)(y3-y1)+(x32+y32)(y1-y2)]/2[y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)]

y0=[(x12+y12)(x3-x2)+(x22+y22)(x1-x3)+ (x32+y32)(x2-x1)]/2[y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)]

圆弧半径为：

传递系数v和p是对圆心坐标x0、y0求偏导求得，其公式略。x1、x2、x3、y1、y2、y3具有相同的测量值不确定度U，即x0和y0的不确定度为Ux0和Uy0：

用MATLAB对Ux0进行3次样条拟合，得出系数拟合曲线如图1所示。

图1 圆心点x坐标值不确定度曲线Figure 1 Uncertainty curve for x coordinate values of center point

近似公式为：

Ux0=±(0.7～81)U，θ=(0.5～90)°

(1)

用MATLAB对Uy0进行3次样条拟合，得出系数拟合曲线如图2所示。

图2 圆心点y坐标值不确定度曲线Figure 2 Uncertainty curve for y coordinate values of center point

近似公式：

Uy0=±(1.2～32165)U，θ=(0.5～90)°

(2)

θ=2°，v≈20，p≈2060

公式(1)、(2)也可写为：

Ux0=±U(∣psinθ∣+v)

Uy0=±U(∣pcosθ∣+v)

当θ很小，且v小于p时有：

UR0≈(p+v)U

式中，θ为圆弧的包容半角；U为测量值(坐标点测量数据)的测量不确定度。p+v为间接测量时，圆心坐标值x、y的传递系数。

2.1.2 测量值的不确定度分量概算

测量值不确定度U的评定模型为：

y=Ls+d-Ls(θδα+αsδθ)

灵敏系数为：

式中，y为测量值；Ls为标准器的量值；d为探测误差；θ为工件与20℃的温度差值；αs为标准器膨胀系数；δα为工件与标准器的膨胀系数差；δθ为工件与标准器的温度差。

合成标准不确定度为：

2.1.2.1 设备示值误差引入的标准不确定度

测量设备示值误差为：(1.5+2.8L) μm，服从矩形分布，扩展系数为3。测量设备示值误差引入的标准不确定度为：u(Ls)=(0.5+0.93L) μm(L为测量长度，此处为100 mm)。

2.1.2.2 设备探测误差引入的标准不确定度

2.1.2.3 被测工件的膨胀系数

2.1.2.4 被测工件温度偏差

C4=0，此项标准不确定度为零。

2.1.2.5 被测工件与测量设备的膨胀系数差引入标准不确定度

表1 不确定度分量汇总表Table 1 Summarization of uncertainty components

2.1.2.6 被测工件与测量设备温度差引入标准不确定度

2.1.3 合成标准不确定度

不确定度分量汇总表见表1。

u=(v、p)×uc

当θ=2°时，v≈20，p≈2060，则

ux0≈20×uc=22 μm

uy0≈2060×uc=2266 μm

uR0≈2080×uc=2288 μm

2.1.4 扩展不确定度

U≈(v、p)×k×uc

Ux0≈2×20×uc=44 μm

Uy0≈2×2060×uc=4532 μm

UR0≈2×2080×uc=4576 μm

2.2 蒙特卡洛方法(MCM)

2.2.1 蒙特卡洛方法原理

蒙特卡洛方法是一种数字计算方法，它以概率统计理论为基础，以随机抽样为手段，对过程进行模拟和仿真。其原理是：首先，产生服从均匀分布的随机数；其次，用数学变换得到其他分部的随机数；最后，对相关参数进行估算，验证特性。

2.2.2 蒙特卡洛方法应用流程

(1)建立一个与所求解问题相关的概率模型；

(2)通过统计实验，计算出事件发生的概率，求出估计的参数；

(3)对结果进行分析，验证特性。

2.2.3 蒙特卡洛方法评定不确定度的步骤

2.2.3.1 将问题公式化

(1)定义输出量Y，即被测量；

(2)确定Y所依赖的输入量X；

(3)建立Y和X的模型；

(4)设定密度函数。

2.2.3.2 传递

通过系数传递Xi概率密度，得到Y概率密度。

2.2.3.3 结果分析

(1)Y期望为估计量；

(2)Y标准差为标准不确定度；

(3)包含概率的区间。

2.2.3.3.1 测量设备示值误差引入的标准不确定度

测量设备的示值误差为：(1.5+2.8L) μm，服从矩形分布，分布函数R(-0.0018，+0.0018)mm。

2.2.3.3.2 测量设备探测误差引入的标准不确定度

测量设备的探测误差为：1.5 μm，服从矩形分布，分布函数R(0，0.001 5)mm。

2.2.3.3.3 被测工件的膨胀系数

被测工件的膨胀系数u(αs)为(11.5±1)×10-6/℃，服从矩形分布，分布函数T(10.5，12.5)×10-6/℃。膨胀系数差为6×10-6/℃，钢铁的膨胀系数为(11.5±1)×10-6/℃，大理石的膨胀系数为(5.5±1)×10-6/℃，在GUM分析中C3=0，高阶项的标准不确定度可以忽略。

2.2.3.3.4 被测工件温度偏差

被测工件的温度在(20±1)℃内变化，对标准温度20℃的偏差为0。被测工件的温度随时间的周期变化服从U形分布(即反正弦分布)，U(-1，1)。在GUM分析中C4=0，高阶项的标准不确定度可以忽略。

2.2.3.3.5 被测工件与测量设备的膨胀系数差引入标准不确定度

被测工件与测量设备膨胀系数差为2.0×10-6/℃，服从三角分布，T为(-2，+2)×10-6/℃。

2.2.3.3.6 被测工件与测量设备的温度差引入标准不确定度

被测工件与测量设备的温度差0.3℃，服从均匀分布，R(0，0.3)，钢铁的膨胀系数为(11.5±1)×10-6/℃。

2.2.3.3.7 标准不确定度

ux0≈20×uc=22.2 μm

uy0≈2060×uc=2286.6 μm

uR0≈2080×uc=2308.8 μm

2.2.3.3.8 扩展不确定度

U≈(v、p)×k×uc